Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 32 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(AB\). Прямая \(a\) параллельна как плоскости \(\alpha\), так и плоскости \(\beta\). Докажите, что прямые \(a\) и \(AB\) параллельны.
Решение
Через точку \(A\) проведём прямую \(AM\), параллельную прямой \(a\) (рис. 18). Так как прямая \(a\) параллельна плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), то прямая \(AM\) лежит как в плоскости \(\alpha\), так и в плоскости \(\beta\) (п. 6, утверждение 2\(^\circ\)). Таким образом, \(AM\) — прямая, по которой пересекаются плоскости \(\alpha\) и \(\beta\), то есть она совпадает с прямой \(AB\). Следовательно, \(AB \parallel a\).
Дано: плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(AB\), а прямая \(a\) параллельна плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\). Требуется доказать, что \(a \parallel AB\).
Решение: через точку \(A\), лежащую на \(AB\), проведём прямую \(AM\), параллельную \(a\). Так как \(a \parallel \alpha\) и \(a \parallel \beta\), то \(AM\) лежит в обеих плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\). Прямая, лежащая в двух пересекающихся плоскостях, совпадает с их линией пересечения, то есть \(AM = AB\). Поскольку \(AM \parallel a\), то \(AB \parallel a\).
Дано: плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(AB\). Прямая \(a\) параллельна как плоскости \(\alpha\), так и плоскости \(\beta\). Требуется доказать, что прямые \(a\) и \(AB\) параллельны.
Рассмотрим следующее подробное решение.
Так как прямая \(a\) параллельна плоскости \(\alpha\), то по определению параллельности прямой и плоскости она либо полностью лежит в плоскости \(\alpha\), либо не пересекает её. Аналогично, так как прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), она либо полностью лежит в плоскости \(\beta\), либо не пересекает её.
Пусть точка \(A\) принадлежит прямой \(AB\), а также плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), поскольку прямая \(AB\) является линией их пересечения. Через точку \(A\) проведём прямую \(AM\), параллельную прямой \(a\). Это возможно, так как через любую точку можно провести прямую, параллельную данной.
Прямая \(AM\), будучи параллельной прямой \(a\), также будет параллельна плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\) (по свойству параллельности прямой и плоскости). Следовательно, прямая \(AM\) лежит как в плоскости \(\alpha\), так и в плоскости \(\beta\). Но прямая, одновременно лежащая в двух пересекающихся плоскостях, совпадает с их линией пересечения. Таким образом, \(AM\) совпадает с прямой \(AB\).
Поскольку \(AM \parallel a\) и \(AM = AB\), то \(AB \parallel a\).
Следовательно, прямые \(a\) и \(AB\) параллельны, что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.