Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 318 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна \(180^\circ\).
Дано правильный тетраэдр и правильный октаэдр. Требуется доказать, что сумма их двугранных углов равна 180°.
Для правильного октаэдра, используя теорему косинусов в соответствующем сечении, где \(AB = (\sqrt{2} \cdot a)\) и \(BC = AC = h_{\text{грани}} = (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})\), косинус двугранного угла \(\angle ACB\) находится как \(\cos(\angle ACB) = (\frac{BC^2 + AC^2 — AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC})\). Подстановка значений дает \(\cos(\angle ACB) = (\frac{(\frac{3 \cdot a^2}{4}) + (\frac{3 \cdot a^2}{4}) — (2 \cdot a^2)}{2 \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})}) = (-\frac{1}{3})\).
Для правильного тетраэдра, косинус двугранного угла \(\angle A_1C_1B_1\) равен отношению \(A_1C_1\) к \(C_1B_1\). Известно, что \(A_1C_1 = (\frac{h_{\text{грани}}}{3})\) и \(C_1B_1 = h_{\text{грани}}\). Следовательно, \(\cos(\angle A_1C_1B_1) = (\frac{(\frac{h_{\text{грани}}}{3})}{h_{\text{грани}}}) = (\frac{1}{3})\).
Поскольку косинусы двугранных углов равны \(-\frac{1}{3}\) и \(\frac{1}{3}\), они противоположны, что означает, что сумма углов равна 180°. Что и требовалось доказать.
Дано правильный тетраэдр и правильный октаэдр. Необходимо доказать, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.
Для решения задачи воспользуемся известными соотношениями из геометрии правильных многогранников.
Рассмотрим построение, связанное с двугранным углом правильного октаэдра. В этом построении отрезок \(AB\) представляет собой удвоенную высоту правильной пирамиды, составляющей половину октаэдра. Длина этого отрезка равна \((\sqrt{2} \cdot a)\), где \(a\) — длина ребра октаэдра.
Отрезки \(BC\) и \(AC\) являются апофемами граней октаэдра. Апофема правильного треугольника со стороной \(a\) равна \((\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})\). Таким образом, \(BC = AC = h_{\text{грани}} = (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})\).
Рассмотрим построение, связанное с двугранным углом правильного тетраэдра. Отрезок \(C_1B_1\) также является апофемой грани тетраэдра, то есть \(C_1B_1 = h_{\text{грани}}\). Отрезок \(A_1C_1\) представляет собой треть высоты основания тетраэдра, которая также равна апофеме грани. Это связано с тем, что основание высоты тетраэдра проецируется в центр правильного треугольника основания, а расстояние от центра до середины стороны составляет одну треть медианы (высоты) этого треугольника. Следовательно, \(A_1C_1 = (\frac{h_{\text{грани}}}{3})\).
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику \(ABC\), где угол \(\angle ACB\) является двугранным углом правильного октаэдра. По теореме косинусов имеем: \(AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle ACB)\).
Выразим косинус угла \(\angle ACB\): \(\cos(\angle ACB) = (\frac{BC^2 + AC^2 — AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC})\).
Подставим известные значения длин отрезков:
\(BC^2 = (h_{\text{грани}})^2 = (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})^2 = (\frac{3 \cdot a^2}{4})\)
\(AC^2 = (h_{\text{грани}})^2 = (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})^2 = (\frac{3 \cdot a^2}{4})\)
\(AB^2 = (\sqrt{2} \cdot a)^2 = (2 \cdot a^2)\)
Теперь подставим эти значения в формулу для косинуса \(\angle ACB\):
\(\cos(\angle ACB) = (\frac{(\frac{3 \cdot a^2}{4}) + (\frac{3 \cdot a^2}{4}) — (2 \cdot a^2)}{2 \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3} \cdot a}{2})})\)
\(\cos(\angle ACB) = (\frac{(\frac{6 \cdot a^2}{4}) — (2 \cdot a^2)}{2 \cdot (\frac{3 \cdot a^2}{4})})\)
\(\cos(\angle ACB) = (\frac{(\frac{3 \cdot a^2}{2}) — (\frac{4 \cdot a^2}{2})}{(\frac{3 \cdot a^2}{2})})\)
\(\cos(\angle ACB) = (\frac{(-\frac{1 \cdot a^2}{2})}{(\frac{3 \cdot a^2}{2})})\)
\(\cos(\angle ACB) = (-\frac{1}{3})\).
Теперь рассмотрим двугранный угол правильного тетраэдра. В соответствующем построении, косинус двугранного угла \(\angle A_1C_1B_1\) выражается через отношение отрезков \(A_1C_1\) и \(C_1B_1\). Как было установлено, \(A_1C_1 = (\frac{h_{\text{грани}}}{3})\) и \(C_1B_1 = h_{\text{грани}}\).
Следовательно, \(\cos(\angle A_1C_1B_1) = (\frac{A_1C_1}{C_1B_1}) = (\frac{(\frac{h_{\text{грани}}}{3})}{h_{\text{грани}}}) = (\frac{1}{3})\).
Таким образом, косинус двугранного угла правильного октаэдра равен \(-\frac{1}{3}\), а косинус двугранного угла правильного тетраэдра равен \(\frac{1}{3}\). Поскольку косинусы этих двух углов являются противоположными числами, это означает, что сами углы в сумме дают 180°.
Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.