Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 315 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Дано правильный октаэдр. Доказать, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба. Решение задачи основано на использовании симметрии. Правильный октаэдр имеет девять плоскостей симметрии. Многогранник, построенный на центрах граней октаэдра, сохраняет эти плоскости симметрии. Полученный многогранник имеет восемь вершин и шесть граней. Каждая грань этого многогранника является четырехугольником. Благодаря симметрии, этот четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали и прямые углы, что делает его квадратом. Поскольку все грани полученного многогранника являются квадратами, этот многогранник является кубом.
Дано правильный октаэдр.
Необходимо доказать, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.
Решим эту задачу с помощью симметрии.
Каждый правильный октаэдр обладает девятью плоскостями симметрии.
Многогранник, вершины которого расположены в симметричных точках (центрах граней исходного октаэдра), сохраняет плоскости симметрии исходной фигуры, следовательно, он также имеет девять плоскостей симметрии.
Полученный многогранник имеет восемь вершин (по числу граней октаэдра) и шесть граней (по числу вершин октаэдра).
Каждая грань полученного многогранника представляет собой четырехугольник.
Благодаря симметрии исходного октаэдра, которая сохраняется в полученном многограннике, эти четырехугольные грани обладают определенными свойствами. Плоскости симметрии октаэдра, проходящие через его противоположные вершины, проходят через центры соответствующих граней нового многогранника и являются плоскостями симметрии для него. Эти плоскости пересекают четырехугольные грани и, в силу симметрии, определяют, что диагонали этих четырехугольников перпендикулярны. Плоскости симметрии октаэдра, проходящие через середины его противоположных ребер, проходят через середины ребер четырехугольных граней нового многогранника. Эти плоскости, в силу симметрии, определяют, что стороны четырехугольных граней равны, а углы прямые.
Следовательно, каждый такой четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали и прямые углы, что означает, что он является квадратом.
Таким образом, все шесть граней искомого многогранника являются квадратами. Поскольку многогранник имеет шесть квадратных граней и восемь вершин, он является кубом.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.