Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 310 Атанасян — Подробные Ответы
В пирамиде \(DABC\) ребро \(DA\) перпендикулярно к плоскости \(ABC\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если \(AB = AC = 25 \, \text{см}\), \(BC = 40 \, \text{см}\), \(DA = 8 \, \text{см}\).
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках BAD и CAD находим длины ребер BD и CD:
\(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{25^2 + 8^2} = \sqrt{625 + 64} = \sqrt{689} \text{ см.}\)
\(CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{25^2 + 8^2} = \sqrt{625 + 64} = \sqrt{689} \text{ см.}\)
Площади прямоугольных треугольников ABD и CAD равны:
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 8 = 100 \text{ см}^2.\)
\(S_{CAD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 8 = 100 \text{ см}^2.\)
Для треугольника CBD со сторонами \(BC = 40\), \(BD = \sqrt{689}\), \(CD = \sqrt{689}\), полупериметр равен:
\(p = \frac{40 + \sqrt{689} + \sqrt{689}}{2} = 20 + \sqrt{689}.\)
Площадь треугольника CBD по формуле Герона:
\(S_{CBD} = \sqrt{p(p — BC)(p — BD)(p — CD)} = \)
\(=\sqrt{(20 + \sqrt{689})(20 + \sqrt{689} — 40)(20 + \sqrt{689} — \sqrt{689})(20 + \sqrt{689} — \sqrt{689})}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{(20 + \sqrt{689})(\sqrt{689} — 20)(20)(20)} = \)
\(=\sqrt{((\sqrt{689})^2 — 20^2) \cdot 400} = \sqrt{(689 — 400) \cdot 400} = \)
\(=\sqrt{289 \cdot 400} = 17 \cdot 20 = 340 \text{ см}^2.\)
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней:
\(S_{\text{боковой}} = S_{ABD} + S_{CBD} + S_{CAD} = 100 + 340 + 100 = 540 \text{ см}^2.\)
Ответ:
\(S_{\text{боковой}} = 540 \text{ см}^2.\)
Дано:
ABCD — пирамида
АВС — треугольник
\(AB = AC = 25 \text{ см.}\)
\(BC = 40 \text{ см.}\)
\(AD \perp ABC\)
\(AD = 8 \text{ см.}\)
Найти:
\(S_{\text{боковой}} = ?\)
Решение:
По построению треугольник BAD является прямоугольным, так как ребро AD перпендикулярно плоскости основания ABC, а отрезок AB лежит в этой плоскости.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BAD находим длину ребра BD:
\(BD = \sqrt{BA^2 + DA^2} = \sqrt{25^2 + 8^2} = \sqrt{625 + 64} = \sqrt{689} \text{ см.}\)
Аналогично, треугольник CAD является прямоугольным, так как ребро AD перпендикулярно плоскости основания ABC, а отрезок AC лежит в этой плоскости.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике CAD находим длину ребра CD:
\(CD = \sqrt{CA^2 + DA^2} = \sqrt{25^2 + 8^2} = \sqrt{625 + 64} = \sqrt{689} \text{ см.}\)
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней: треугольников ABD, CBD и CAD.
Треугольник ABD является прямоугольным с катетами AB и AD. Его площадь равна:
\(S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100 \text{ см}^2.\)
Треугольник CAD является прямоугольным с катетами AC и AD. Его площадь равна:
\(S_{CAD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 8 = 25 \cdot 4 = 100 \text{ см}^2.\)
Треугольник CBD имеет стороны \(BC = 40 \text{ см.}\), \(BD = \sqrt{689} \text{ см.}\), \(CD = \sqrt{689} \text{ см.}\). Для нахождения его площади воспользуемся формулой Герона.
Полупериметр \(p\) треугольника CBD равен:
\(p = \frac{BC + BD + CD}{2} = \frac{40 + \sqrt{689} + \sqrt{689}}{2} = \frac{40 + 2\sqrt{689}}{2} = 20 + \sqrt{689}.\)
Площадь треугольника CBD по формуле Герона:
\(S_{CBD} = \sqrt{p(p — BC)(p — BD)(p — CD)}\)
Используя значения сторон и полупериметра:
\(S_{CBD} = \sqrt{(20 + \sqrt{689})(20 + \sqrt{689} — 40)}\cdot\)
\(\\cdotsqrt{(20 + \sqrt{689} — \sqrt{689})(20 + \sqrt{689} — \sqrt{689})}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{(20 + \sqrt{689})(\sqrt{689} — 20)(20)(20)}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{((\sqrt{689})^2 — 20^2) \cdot 400}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{(689 — 400) \cdot 400}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{289 \cdot 400}\)
\(S_{CBD} = \sqrt{289} \cdot \sqrt{400} = 17 \cdot 20 = 340 \text{ см}^2.\)
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей треугольников ABD, CBD и CAD:
\(S_{\text{боковой}} = S_{ABD} + S_{CBD} + S_{CAD}\)
\(S_{\text{боковой}} = 100 + 340 + 100 = 540 \text{ см}^2.\)
Ответ:
\(S_{\text{боковой}} = 540 \text{ см}^2.\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.