ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 306 Атанасян — Подробные Ответы

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна \(h\) и составляет угол \(\varphi\) с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Дана правильная пирамида \(ABCDK\) с квадратом \(ABCD\) в основании, высотой \(KO = h\) и углом \(\angle OKH = \phi\). Площадь полной поверхности:

\(S_{ABCDK} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = x^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot KH\)

Из \(\triangle KOH\):
\(x = 2h \tan \phi, \quad KH = \frac{h}{\cos \phi}\)

Подставляем:
\(S_{ABCDK} = 4h^2 \tan^2 \phi + \frac{4h^2 \tan \phi}{\cos \phi} = 4h^2 \tan \phi \left( \tan \phi + \frac{1}{\cos \phi} \right)\)

Ответ:
\(S_{ABCDK} = 4h^2 \cdot \frac{\tan \phi}{\cos \phi} \left( \tan \phi + \frac{1}{\cos \phi} \right)\)

Рассмотрим задачу о правильной пирамиде \(ABCDK\), где \(ABCD\) — квадрат, \(KO = h\) — высота пирамиды, \(O\) — центр квадрата, \(\angle OKH = \phi\). Требуется найти полную площадь поверхности пирамиды \(S_{ABCDK}\).

Полная площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности:
\(S_{ABCDK} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\)

Площадь основания — квадрата \(ABCD\) со стороной \(x\):
\(S_{\text{осн}} = x^2\)

Для нахождения \(x\) рассмотрим прямоугольный треугольник \(KOH\), где \(OH\) — половина стороны квадрата:
\(OH = \frac{x}{2}\)
Из треугольника \(KOH\):
\(\tan \phi = \frac{OH}{KO} = \frac{x/2}{h} \Rightarrow x = 2h \tan \phi\)
Тогда площадь основания:
\(S_{\text{осн}} = (2h \tan \phi)^2 = 4h^2 \tan^2 \phi\)

Боковая поверхность состоит из четырёх одинаковых треугольников \(BKC\). Площадь одного треугольника:
\(S_{BKC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot KH\)
Из треугольника \(KOH\):
\(\cos \phi = \frac{KO}{KH} = \frac{h}{KH} \Rightarrow KH = \frac{h}{\cos \phi}\)
Тогда площадь боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot KH = 2 \cdot 2h \tan \phi \cdot \frac{h}{\cos \phi} = \frac{4h^2 \tan \phi}{\cos \phi}\)

Суммируем площади:
\(S_{ABCDK} = 4h^2 \tan^2 \phi + \frac{4h^2 \tan \phi}{\cos \phi} = 4h^2 \tan \phi \left( \tan \phi + \frac{1}{\cos \phi} \right)\)

Ответ совпадает с приведённым в примере:
\(S_{ABCDK} = 4h^2 \cdot \frac{\tan \phi}{\cos \phi} \left( \tan \phi + \frac{1}{\cos \phi} \right)\)