Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 299 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна \(m\), а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.
Дано: \(ABCD\) — правильная пирамида со стороной \(m\), \(2S_{\text{осн}} = S_{\text{бок}}\). Найти \(OD = h_{ABCD}\).
Решение:
Площадь основания: \(S_{\text{осн}} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = \frac{3ml}{2}\), где \(l\) — апофема.
Из условия: \(2 \cdot \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3ml}{2}\) → \(l = \frac{m \sqrt{3}}{3}\).
Радиус вписанной окружности: \(OH = \frac{m \sqrt{3}}{6}\).
По теореме Пифагора в \(\triangle DOH\):
\(
OD = \sqrt{\left(\frac{m \sqrt{3}}{3}\right)^2 — \left(\frac{m \sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{m^2}{3} — \frac{m^2}{12}} = \frac{m}{2}.
\)
Ответ: \(OD = \frac{m}{2}\).
Дано: \(ABCD\) — правильная пирамида со стороной основания \(m\). Условие: \(2 \cdot S_{\text{осн}} = S_{\text{бок}}\). Найти: \(OD = h_{ABCD}\).
Решение:
1. Площадь основания правильной пирамиды (правильный треугольник \(ABC\)):
\(S_{\text{осн}} = \frac{m^2 \sqrt{3}}{4}\)
2. Площадь боковой поверхности (три одинаковых боковых грани):
\(S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot l = \frac{3ml}{2}\)
где \(l\) — апофема боковой грани.
3. По условию:
\(2 \cdot S_{\text{осн}} = S_{\text{бок}}\)
Подставляем выражения:
\(2 \cdot \frac{m^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3ml}{2}\)
Упрощаем:
\(\frac{m^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3ml}{2}\)
Сокращаем на \(\frac{m}{2}\):
\(m \sqrt{3} = 3l\)
Отсюда апофема:
\(l = \frac{m \sqrt{3}}{3}\)
4. Найдем высоту пирамиды \(OD\). Рассмотрим треугольник \(DOH\), где \(OH\) — радиус вписанной окружности основания, \(DH\) — апофема \(l\).
5. Радиус вписанной окружности правильного треугольника:
\(OH = \frac{m \sqrt{3}}{6}\)
6. По теореме Пифагора в треугольнике \(DOH\):
\(OD = \sqrt{DH^2 — OH^2} = \sqrt{\left(\frac{m \sqrt{3}}{3}\right)^2 — \left(\frac{m \sqrt{3}}{6}\right)^2}\)
Упрощаем:
\(OD = \sqrt{\frac{3m^2}{9} — \frac{3m^2}{36}} = \sqrt{\frac{12m^2}{36} — \frac{3m^2}{36}} = \sqrt{\frac{9m^2}{36}} = \sqrt{\frac{m^2}{4}} = \frac{m}{2}\)
Ответ: \(OD = h_{ABCD} = \frac{m}{2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.