Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 298 Атанасян — Подробные Ответы
Основание параллелепипеда с боковым ребром \(b\) — квадрат со стороной \(a\). Одна из вершин верхнего основания равноудалена от вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности.
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед, \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a\), \(AA_1 = b\), \(A_1\) равноудалена от вершин основания.
Решение:
1. Полная поверхность:
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 4a \cdot h\)
2. Из условия \(BA_1 = AA_1 = b\) находим высоту \(h\) через площадь треугольника \(ABA_1\):
\(\frac{a}{2} \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a \cdot h}{2} \Rightarrow h = \sqrt{b^2 — \frac{a^2}{4}}\)
3. Подставляем \(h\):
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 4a \cdot \sqrt{b^2 — \frac{a^2}{4}} = 2a^2 + 2a \sqrt{4b^2 — a^2}\)
Ответ:
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 2a \sqrt{4b^2 — a^2}\)
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед, \(ABCD\) — квадрат со стороной \(a\), \(AA_1 = b\), точка \(A_1\) равноудалена от вершин основания. Найти: \(S_{\text{полное}}\).
Решение:
Полная поверхность параллелепипеда вычисляется по формуле:
\(S_{\text{полное}} = 2 \cdot S_{\text{основания}} + S_{\text{боковая}} = 2 \cdot a^2 + P \cdot h\)
где \(P = 4a\) — периметр основания, \(h\) — высота параллелепипеда.
По условию точка \(A_1\) равноудалена от вершин основания, значит, \(BA_1 = AA_1 = b\). Рассмотрим треугольник \(ABA_1\):
\(SA_{ABA_1} = \sqrt{p \cdot (p — a) \cdot (p — b) \cdot (p — b)}\)
где полупериметр \(p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{a + 2b}{2}\).
Подставим значения:
\(SA_{ABA_1} = \sqrt{\left(\frac{a + 2b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + 2b}{2} — a\right) \cdot \left(\frac{a + 2b}{2} — b\right) \cdot \left(\frac{a + 2b}{2} — b\right)}\)
\(SA_{ABA_1} = \sqrt{\left(\frac{a + 2b}{2}\right) \cdot \left(\frac{-a + 2b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2}\right)}\)
\(SA_{ABA_1} = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
Площадь треугольника \(ABA_1\) также можно выразить через высоту \(h\):
\(SA_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)
Приравняем выражения:
\(\frac{a}{2} \cdot \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\)
Отсюда находим высоту \(h\):
\(h = \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
Подставим \(h\) в формулу полной поверхности:
\(S_{\text{полное}} = 2 \cdot a^2 + 4a \cdot \sqrt{b^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2}\)
Упростим выражение под корнем:
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 4a \cdot \sqrt{\frac{4b^2 — a^2}{4}} = 2a^2 + 4a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 — a^2}}{2}\)
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 2a \cdot \sqrt{4b^2 — a^2}\)
Ответ:
\(S_{\text{полное}} = 2a^2 + 2a \cdot \sqrt{4b^2 — a^2}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.