ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 293 Атанасян — Подробные Ответы

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) диагонали \(B_1D\) и \(D_1B\) взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями \(A_1C\) и \(B_1D\) призмы равен \(60^\circ\)

В правильной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) диагонали \(DB_1 = \sqrt{x^2 + z^2}\). Так как \(BB_1D_1D\) — квадрат, то \(DB_1 = \sqrt{2x^2 + z^2}\). Приравнивая, получаем \(\sqrt{2x^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + z^2}\), откуда \(x^2 = x^2\). В треугольнике \(A_1OB_1\) все стороны равны \(x\), значит, \(\angle A_1OB_1 = 60^\circ\).

Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — правильная призма, \(DB_1\).
Доказать: \(\angle A_1OB_1 = 60^\circ\).

Решение:
Обозначим длину основания призмы за \(x\), а высоту за \(z\). По построению сечения \(BB_1D_1D\) и \(AA_1C_1C\) — прямоугольники. Тогда диагонали \(DB_1 = BD_1 = AC_1 = CA_1 = DO = OA_1 = CO = OB_1 = \sqrt{x^2 + z^2}\), так как они являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках.

Из условия правильности призмы следует, что \(BB_1D_1D\) — квадрат, поэтому \(DB_1 = \sqrt{x^2 + x^2 + z^2} = \sqrt{2x^2 + z^2}\).

Рассмотрим треугольник \(A_1OB_1\):
\(OA_1 = OB_1 = \sqrt{x^2 + z^2}\),
\(A_1B_1 = x\) (так как \(A_1B_1\) — сторона основания).

Если \(DB_1 = \sqrt{2x^2 + z^2} = \sqrt{x^2 + z^2}\), то возведём обе части в квадрат:
\(2x^2 + z^2 = x^2 + z^2\),
откуда \(x^2 = x^2\), что верно.

Таким образом, треугольник \(A_1OB_1\) — равносторонний, так как все его стороны равны \(x\). Следовательно, \(\angle A_1OB_1 = 60^\circ\), что и требовалось доказать.