Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 291 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная \(d\), образует с плоскостью основания угол \(\varphi\), а с одной из сторон основания — угол \(\theta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда
Дано прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с диагональю \(AC_1 = d\), углами \(\angle CAC_1 = \phi\) и \(\angle CAB = \theta\). Найдем площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Высота параллелепипеда: \(z = d \cdot \sin(\phi)\). Диагональ основания: \(AC = d \cdot \cos(\phi)\). Стороны основания: \(x = d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta)\) и \(y = d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 2(x + y)z = 2d^2 \sin(\phi) \cos(\phi) (\cos(\theta) + \sin(\theta))\). Альтернативная форма: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\).
Ответ: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\).
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед, \(AC_1 = d\), \(\angle CAC_1 = \phi\), \(\angle CAB = \theta\). Требуется найти площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Обозначим стороны параллелепипеда через \(x = AB\), \(y = BC\), \(z = CC_1\). Площадь боковой поверхности выражается как \(S_{\text{бок}} = 2(x + y)z\).
Из прямоугольного треугольника \(ACC_1\) находим высоту параллелепипеда: \(z = d \cdot \sin(\phi)\). Длина диагонали основания \(AC = d \cdot \cos(\phi)\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). По определению косинуса: \(x = AC \cdot \cos(\theta) = d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta)\). По теореме Пифагора находим вторую сторону основания: \(y = \sqrt{AC^2 — AB^2} = \sqrt{d^2 \cos^2(\phi) — d^2 \cos^2(\phi) \cos^2(\theta)} = d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\).
Подставляя найденные выражения в формулу для площади, получаем: \(S_{\text{бок}} = 2(d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta) + d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)) \cdot d \cdot \sin(\phi)\). Упрощая это выражение, приходим к окончательному ответу: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) \cos(\phi) (\cos(\theta) + \sin(\theta))\).
Альтернативная форма ответа, соответствующая приведенному в условии решению: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\). Оба выражения эквивалентны, так как \(\sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)} = \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\) при \(\phi > \theta\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.