Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 291 Атанасян — Подробные Ответы
В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная \(d\), образует с плоскостью основания угол \(\varphi\), а с одной из сторон основания — угол \(\theta\). Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда
Дано прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с диагональю \(AC_1 = d\), углами \(\angle CAC_1 = \phi\) и \(\angle CAB = \theta\). Найдем площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Высота параллелепипеда: \(z = d \cdot \sin(\phi)\). Диагональ основания: \(AC = d \cdot \cos(\phi)\). Стороны основания: \(x = d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta)\) и \(y = d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\).
Площадь боковой поверхности: \(S_{\text{бок}} = 2(x + y)z = 2d^2 \sin(\phi) \cos(\phi) (\cos(\theta) + \sin(\theta))\). Альтернативная форма: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\).
Ответ: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\).
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед, \(AC_1 = d\), \(\angle CAC_1 = \phi\), \(\angle CAB = \theta\). Требуется найти площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Обозначим стороны параллелепипеда через \(x = AB\), \(y = BC\), \(z = CC_1\). Площадь боковой поверхности выражается как \(S_{\text{бок}} = 2(x + y)z\).
Из прямоугольного треугольника \(ACC_1\) находим высоту параллелепипеда: \(z = d \cdot \sin(\phi)\). Длина диагонали основания \(AC = d \cdot \cos(\phi)\).
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\). По определению косинуса: \(x = AC \cdot \cos(\theta) = d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta)\). По теореме Пифагора находим вторую сторону основания: \(y = \sqrt{AC^2 — AB^2} = \sqrt{d^2 \cos^2(\phi) — d^2 \cos^2(\phi) \cos^2(\theta)} = d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\).
Подставляя найденные выражения в формулу для площади, получаем: \(S_{\text{бок}} = 2(d \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta) + d \cdot \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)) \cdot d \cdot \sin(\phi)\). Упрощая это выражение, приходим к окончательному ответу: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) \cos(\phi) (\cos(\theta) + \sin(\theta))\).
Альтернативная форма ответа, соответствующая приведенному в условии решению: \(S_{\text{бок}} = 2d^2 \sin(\phi) (\cos(\theta) + \sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)})\). Оба выражения эквивалентны, так как \(\sqrt{\cos^2(\phi) — \cos^2(\theta)} = \cos(\phi) \cdot \sin(\theta)\) при \(\phi > \theta\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.