ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 290 Атанасян — Подробные Ответы

Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной \(l\), и одной из сторон основания равен \(\varphi\). Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен \(\theta\). Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

Дано прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с диагональю \(AC = l\), углами \(\angle CAB = \phi\) и \(\angle C_1AB = \theta\). Найдем площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).

Стороны основания:
\(x = l \cdot \cos(\phi)\)
\(y = l \cdot \sin(\phi)\)

Из прямоугольного треугольника \(C_1AB\) по теореме Пифагора:
\(z = l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)

Площадь боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (x + y) \cdot z = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)

Ответ:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)

Рассмотрим задачу подробно. Дано: прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где \(AC = l\), \(\angle CAB = \phi\), \(\angle C_1AB = \theta\). Требуется найти площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).

Обозначим стороны параллелепипеда за \(x\), \(y\), \(z\). Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (x + y) \cdot z\)

Поскольку параллелепипед прямоугольный, стороны \(x\) и \(y\) можно выразить через угол \(\phi\) и длину \(AC = l\):
\(x = l \cdot \cos(\phi)\)
\(y = l \cdot \sin(\phi)\)

Рассмотрим треугольник \(C_1AB\). Он прямоугольный, так как \(\angle C_1AB = \theta\). По теореме Пифагора:
\(AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2\)
\(x^2 + (y^2 + z^2) = \left(\frac{x}{\cos(\theta)}\right)^2\)

Подставим выражения для \(x\) и \(y\):
\((l \cdot \cos(\phi))^2 + (l \cdot \sin(\phi))^2 + z^2 = \left(\frac{l \cdot \cos(\phi)}{\cos(\theta)}\right)^2\)
\(l^2 \cdot \cos^2(\phi) + l^2 \cdot \sin^2(\phi) + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(l^2 (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(l^2 + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — l^2\)
\(z^2 = l^2 \left(\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1\right)\)
\(z = l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)

Теперь подставим \(x\), \(y\) и \(z\) в формулу для \(S_{\text{бок}}\):
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (l \cdot \cos(\phi) + l \cdot \sin(\phi)) \cdot l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)

Ответ: площадь боковой поверхности равна
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)