Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 290 Атанасян — Подробные Ответы
Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной \(l\), и одной из сторон основания равен \(\varphi\). Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен \(\theta\). Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.
Дано прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) с диагональю \(AC = l\), углами \(\angle CAB = \phi\) и \(\angle C_1AB = \theta\). Найдем площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Стороны основания:
\(x = l \cdot \cos(\phi)\)
\(y = l \cdot \sin(\phi)\)
Из прямоугольного треугольника \(C_1AB\) по теореме Пифагора:
\(z = l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Площадь боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (x + y) \cdot z = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Ответ:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Рассмотрим задачу подробно. Дано: прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где \(AC = l\), \(\angle CAB = \phi\), \(\angle C_1AB = \theta\). Требуется найти площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\).
Обозначим стороны параллелепипеда за \(x\), \(y\), \(z\). Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (x + y) \cdot z\)
Поскольку параллелепипед прямоугольный, стороны \(x\) и \(y\) можно выразить через угол \(\phi\) и длину \(AC = l\):
\(x = l \cdot \cos(\phi)\)
\(y = l \cdot \sin(\phi)\)
Рассмотрим треугольник \(C_1AB\). Он прямоугольный, так как \(\angle C_1AB = \theta\). По теореме Пифагора:
\(AB^2 + BC_1^2 = AC_1^2\)
\(x^2 + (y^2 + z^2) = \left(\frac{x}{\cos(\theta)}\right)^2\)
Подставим выражения для \(x\) и \(y\):
\((l \cdot \cos(\phi))^2 + (l \cdot \sin(\phi))^2 + z^2 = \left(\frac{l \cdot \cos(\phi)}{\cos(\theta)}\right)^2\)
\(l^2 \cdot \cos^2(\phi) + l^2 \cdot \sin^2(\phi) + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(l^2 (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(l^2 + z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)}\)
\(z^2 = \frac{l^2 \cdot \cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — l^2\)
\(z^2 = l^2 \left(\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1\right)\)
\(z = l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Теперь подставим \(x\), \(y\) и \(z\) в формулу для \(S_{\text{бок}}\):
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot (l \cdot \cos(\phi) + l \cdot \sin(\phi)) \cdot l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot l \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Ответ: площадь боковой поверхности равна
\(S_{\text{бок}} = 2 \cdot l^2 \cdot (\cos(\phi) + \sin(\phi)) \cdot \sqrt{\frac{\cos^2(\phi)}{\cos^2(\theta)} — 1}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.