Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 285 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.
Рассмотрим правильный тетраэдр \(ABCD\). Соединим центры его граней, получив новый тетраэдр \(A’B’C’D’\). Докажем, что все его рёбра равны.
Поскольку \(ABCD\) — правильный тетраэдр, он обладает симметрией относительно плоскостей, проходящих через его высоты. Пусть \(\Pi\) — одна из таких плоскостей симметрии. Тогда вершины \(A’\) и \(B’\) симметричны относительно \(\Pi\), а вершины \(C’\) и \(D’\) лежат в \(\Pi\).
Из симметрии следует, что отрезки \(A’C’\) и \(B’C’\) равны, так как \(A’\) и \(B’\) симметричны, а \(C’\) лежит в плоскости симметрии. Аналогично, применяя рассуждения ко всем плоскостям симметрии, получаем, что все рёбра тетраэдра \(A’B’C’D’\) равны.
Таким образом, отрезки, соединяющие центры граней правильного тетраэдра, равны.
Рассмотрим правильный тетраэдр \(ABCD\) с ребрами равной длины. Нам нужно доказать, что отрезки, соединяющие центры его граней, равны между собой. Центры граней — это точки пересечения медиан соответствующих треугольных граней. Обозначим центры граней \(ABC\), \(ABD\), \(ACD\) и \(BCD\) как \(K\), \(L\), \(M\) и \(N\) соответственно.
Шаг 1: Построение нового тетраэдра. Соединим центры граней \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) отрезками. Получим новый тетраэдр \(KLMN\). Нам нужно доказать, что все его рёбра равны, то есть \(KL = LM = MN = NK = KM = LN\).
Шаг 2: Использование симметрии. Правильный тетраэдр обладает шестью плоскостями симметрии. Каждая из них проходит через ребро и середину противоположного ребра. Рассмотрим одну такую плоскость симметрии \(\Pi\), например, проходящую через ребро \(AB\) и середину ребра \(CD\).
Шаг 3: Анализ расположения точек. В силу симметрии, точки \(K\) (центр грани \(ABC\)) и \(L\) (центр грани \(ABD\)) симметричны относительно \(\Pi\), так как грани \(ABC\) и \(ABD\) симметричны относительно этой плоскости. Точки \(M\) (центр \(ACD\)) и \(N\) (центр \(BCD\)) лежат в самой плоскости \(\Pi\), поскольку их грани симметричны друг другу относительно \(\Pi\).
Шаг 4: Доказательство равенства рёбер. Рассмотрим рёбра \(KM\) и \(LM\). Поскольку \(K\) и \(L\) симметричны, а \(M\) лежит в плоскости симметрии, отрезки \(KM\) и \(LM\) равны как симметричные относительно \(\Pi\). Аналогично, применяя те же рассуждения к другим плоскостям симметрии, можно показать, что все рёбра тетраэдра \(KLMN\) попарно равны.
Шаг 5: Обобщение. Поскольку правильный тетраэдр имеет несколько плоскостей симметрии, можно выбрать любую из них и повторить рассуждения. Это гарантирует, что все рёбра \(KLMN\) равны, а значит, отрезки, соединяющие центры граней исходного тетраэдра, действительно равны между собой.
Таким образом, мы доказали, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны, используя свойства симметрии и геометрические построения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.