Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 281 Атанасян — Подробные Ответы
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) из вершины \(D_1\) проведены диагонали граней \(D_1A\), \(D_1C\) и \(D_1B_1\), и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник \(D_1AB_1C\) — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — куб
Доказать: \(AB_1CD_1\) — правильный тетраэдр
Найти:
\(S_{ABCDA_1B_1CD_1} = ?\)
\(S_{AB_1CD_1} = ?\)
Решение:
Рассмотрим \(AB_1CD_1\). По построению \(AB_1CD_1\) состоит из диагоналей граней куба, которые равны \(\Rightarrow AB_1 = B_1C = CD_1 = D_1A \Rightarrow AB_1CD_1\) — правильный тетраэдр. Что и требовалось доказать.
\(S_{AB_1CD_1} = 4 \cdot S_{ACD_1} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB^2\) (задача 280)
\(S_{ABCDA_1B_1CD_1} = 6 \cdot AB^2\)
\(\frac{S_{ABCDA_1B_1CD_1}}{S_{AB_1CD_1}} = \frac{6 \cdot AB^2}{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB^2} = \sqrt{3}\)
Ответ:
\(\frac{S_{ABCDA_1B_1CD_1}}{S_{AB_1CD_1}} = \sqrt{3}\)
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) — его основания, а боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) соединяют соответствующие вершины. Нам нужно доказать, что фигура \(AB_1CD_1\) является правильным тетраэдром, то есть все её рёбра равны, а все грани — равносторонние треугольники.
Шаг 1: Определение рёбер тетраэдра.
Тетраэдр \(AB_1CD_1\) образован вершинами \(A\), \(B_1\), \(C\), \(D_1\). Его рёбра:
— \(AB_1\) — диагональ грани \(ABB_1A_1\),
— \(B_1C\) — диагональ грани \(BB_1C_1C\),
— \(CD_1\) — диагональ грани \(CC_1D_1D\),
— \(D_1A\) — диагональ грани \(ADD_1A_1\),
— \(AC\) — диагональ основания \(ABCD\),
— \(B_1D_1\) — диагональ верхнего основания \(A_1B_1C_1D_1\).
Шаг 2: Доказательство равенства рёбер.
Пусть длина ребра куба равна \(a\). Тогда:
— Длина диагонали грани куба: \(AB_1 = B_1C = CD_1 = D_1A = a\sqrt{2}\), так как диагональ квадрата со стороной \(a\) равна \(a\sqrt{2}\).
— Длина диагонали основания \(AC = a\sqrt{2}\) (также диагональ квадрата).
— Длина пространственной диагонали \(B_1D_1 = a\sqrt{2}\) (аналогично).
Таким образом, все рёбра тетраэдра \(AB_1CD_1\) равны \(a\sqrt{2}\), что соответствует определению правильного тетраэдра.
Шаг 3: Проверка граней.
Каждая грань тетраэдра — треугольник со сторонами \(a\sqrt{2}\), значит, все грани являются равносторонними треугольниками. Например, треугольник \(AB_1C\) имеет стороны \(AB_1 = B_1C = AC = a\sqrt{2}\).
Шаг 4: Вычисление площадей.
Площадь одной грани правильного тетраэдра со стороной \(l\) вычисляется по формуле:
\(S_{\text{грани}} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (a\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2\).
Площадь полной поверхности тетраэдра:
\(S_{AB_1CD_1} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = 2\sqrt{3} a^2\).
Площадь поверхности куба:
\(S_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 6a^2\).
Отношение площадей:
\(\frac{S_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{S_{AB_1CD_1}} = \frac{6a^2}{2\sqrt{3} a^2} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\).
Итоговый ответ:
\(\frac{S_{ABCDA_1B_1C_1D_1}}{S_{AB_1CD_1}} = \sqrt{3}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.