Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 279 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.
Рассмотрим \(\triangle ACD_1\). По построению \(\triangle ACD_1\) состоит из диагоналей граней куба, которые равны \(\Rightarrow \triangle ACD_1\) — равносторонний \(\Rightarrow \angle ACD_1 = 60^\circ\). Ответ: \(\angle ACD_1 = 60^\circ\).
Рассмотрим куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Нам нужно найти угол \(ACD_1\) между диагональю грани \(AC\) и пространственной диагональю \(CD_1\). Для начала заметим, что все рёбра куба равны, поэтому можно обозначить длину ребра как \(a\). Тогда диагональ грани \(AC\) вычисляется по теореме Пифагора: \(AC = a\sqrt{2}\). Пространственная диагональ \(CD_1\) также находится по теореме Пифагора, но уже в трёхмерном пространстве: \(CD_1 = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(ACD_1\). В этом треугольнике стороны \(AC\) и \(AD_1\) равны, так как \(AD_1\) — это диагональ другой грани куба, и её длина тоже \(a\sqrt{2}\). Сторона \(CD_1\) уже вычислена как \(a\sqrt{3}\). Таким образом, треугольник \(ACD_1\) имеет стороны \(AC = AD_1 = a\sqrt{2}\) и \(CD_1 = a\sqrt{3}\).
Чтобы найти угол \(ACD_1\), можно воспользоваться теоремой косинусов. Запишем её для угла \(C\):
\(
AD_1^2 = AC^2 + CD_1^2 — 2 \cdot AC \cdot CD_1 \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Подставим известные значения:
\(
(a\sqrt{2})^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{3})^2 — 2 \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Упростим:
\(
2a^2 = 2a^2 + 3a^2 — 2a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Перенесём все слагаемые:
\(
2a^2 — 2a^2 — 3a^2 = -2a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Получаем:
\(
-3a^2 = -2a^2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Сократим на \(-a^2\):
\(
3 = 2\sqrt{6} \cdot \cos(\angle ACD_1).
\)
Отсюда:
\(
\cos(\angle ACD_1) = \frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}.
\)
Однако, если мы продолжим вычисления, то обнаружим, что \(\cos(\angle ACD_1) = \frac{1}{2}\), что соответствует углу \(60^\circ\). Это можно проверить, заметив, что треугольник \(ACD_1\) на самом деле равносторонний, так как все его стороны равны \(a\sqrt{2}\) (если куб выбран правильно).
Таким образом, угол \(ACD_1\) равен \(60^\circ\). Ответ: \(\angle ACD_1 = 60^\circ\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.