ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 27 Атанасян — Подробные Ответы

Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), причём \(AC : CB = 4 : 3\). Отрезок \(CD\), равный \(12 \, \text{см}\), параллелен плоскости \(\pi\), проходящей через точку \(B\). Докажите, что прямая \(AD\) пересекает плоскость \(\pi\) в некоторой точке \(E\), и найдите отрезок \(BE\).

Дано \( AC : CB = 4 : 3 \), \( CD = 12 \, \text{см} \), \( CD \parallel \pi \). Докажем, что \( AD \cap \pi = E \), и найдём \( BE \).

Так как \( CD \parallel \pi \), то \( CD \parallel BE \), а точка \( E \) лежит на прямой \( AD \). Треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \) подобны по двум углам (\( \angle CAD \) общий, \( CD \parallel BE \)).

Коэффициент подобия треугольников: \(
k = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}.
\)

Из подобия: \(
\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Так как \( AB = AC + CB = 4x + 3x = 7x \), имеем: \(
\frac{BE}{12} = \frac{7}{4}.
\)

Отсюда: \(
BE = 12 \cdot \frac{7}{4} = 21 \, \text{см}.
\)

Ответ: \( BE = 21 \, \text{см} \).

Дано: \( AC : CB = 4 : 3 \), \( CD = 12 \, \text{см} \), \( CD \parallel \pi \), где \(\pi\) — плоскость, проходящая через точку \( B \). Требуется доказать, что прямая \( AD \) пересекает плоскость \(\pi\) в точке \( E \), и найти длину отрезка \( BE \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), в котором точка \( C \) делит сторону \( AB \) в отношении \( 4 : 3 \). Поскольку \( CD \parallel \pi \), то плоскость \( \pi \) пересекает треугольник \( \triangle ABC \) линией, параллельной \( CD \). Пусть точка пересечения прямой \( AD \) с плоскостью \(\pi\) — это точка \( E \).

Докажем, что \( AD \cap \pi = E \).

Прямая \( CD \) параллельна плоскости \(\pi\), а точка \( D \) лежит на прямой \( BC \). Следовательно, \( CD \parallel BE \), так как линия пересечения плоскости \( \pi \) с треугольником \( \triangle ABC \) параллельна стороне \( CD \). Таким образом, \( E \in AD \) и \( CD \parallel BE \).

Теперь рассмотрим подобие треугольников \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \). Так как \( CD \parallel BE \), углы \( \angle ACD \) и \( \angle ABE \) равны (по признаку равенства углов при параллельных прямых и секущей). Угол \( \angle CAD \) общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники \( \triangle ACD \sim \triangle ABE \) по двум углам.

Коэффициент подобия треугольников равен отношению сторон, лежащих напротив равных углов. Так как \( AC : CB = 4 : 3 \), имеем:

\(
\frac{AC}{AB} = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}.
\)

Следовательно, коэффициент подобия между треугольниками \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \) равен \( \frac{4}{7} \).

Используем коэффициент подобия для нахождения \( BE \). По условию, \( CD = 12 \, \text{см} \). Тогда:

\(
\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)

Так как \( AB = AC + CB = 4x + 3x = 7x \), а \( AC = 4x \), имеем:

\(
\frac{BE}{12} = \frac{7}{4}.
\)

Отсюда:

\(
BE = 12 \cdot \frac{7}{4} = 21 \, \text{см}.
\)

Таким образом, точка \( E \) существует, и длина отрезка \( BE \) равна \( 21 \, \text{см} \).