Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 27 Атанасян — Подробные Ответы
Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), причём \(AC : CB = 4 : 3\). Отрезок \(CD\), равный \(12 \, \text{см}\), параллелен плоскости \(\pi\), проходящей через точку \(B\). Докажите, что прямая \(AD\) пересекает плоскость \(\pi\) в некоторой точке \(E\), и найдите отрезок \(BE\).
Дано \( AC : CB = 4 : 3 \), \( CD = 12 \, \text{см} \), \( CD \parallel \pi \). Докажем, что \( AD \cap \pi = E \), и найдём \( BE \).
Так как \( CD \parallel \pi \), то \( CD \parallel BE \), а точка \( E \) лежит на прямой \( AD \). Треугольники \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \) подобны по двум углам (\( \angle CAD \) общий, \( CD \parallel BE \)).
Коэффициент подобия треугольников: \(
k = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}.
\)
Из подобия: \(
\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)
Так как \( AB = AC + CB = 4x + 3x = 7x \), имеем: \(
\frac{BE}{12} = \frac{7}{4}.
\)
Отсюда: \(
BE = 12 \cdot \frac{7}{4} = 21 \, \text{см}.
\)
Ответ: \( BE = 21 \, \text{см} \).
Дано: \( AC : CB = 4 : 3 \), \( CD = 12 \, \text{см} \), \( CD \parallel \pi \), где \(\pi\) — плоскость, проходящая через точку \( B \). Требуется доказать, что прямая \( AD \) пересекает плоскость \(\pi\) в точке \( E \), и найти длину отрезка \( BE \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \), в котором точка \( C \) делит сторону \( AB \) в отношении \( 4 : 3 \). Поскольку \( CD \parallel \pi \), то плоскость \( \pi \) пересекает треугольник \( \triangle ABC \) линией, параллельной \( CD \). Пусть точка пересечения прямой \( AD \) с плоскостью \(\pi\) — это точка \( E \).
Докажем, что \( AD \cap \pi = E \).
Прямая \( CD \) параллельна плоскости \(\pi\), а точка \( D \) лежит на прямой \( BC \). Следовательно, \( CD \parallel BE \), так как линия пересечения плоскости \( \pi \) с треугольником \( \triangle ABC \) параллельна стороне \( CD \). Таким образом, \( E \in AD \) и \( CD \parallel BE \).
Теперь рассмотрим подобие треугольников \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \). Так как \( CD \parallel BE \), углы \( \angle ACD \) и \( \angle ABE \) равны (по признаку равенства углов при параллельных прямых и секущей). Угол \( \angle CAD \) общий для обоих треугольников. Следовательно, треугольники \( \triangle ACD \sim \triangle ABE \) по двум углам.
Коэффициент подобия треугольников равен отношению сторон, лежащих напротив равных углов. Так как \( AC : CB = 4 : 3 \), имеем:
\(
\frac{AC}{AB} = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}.
\)
Следовательно, коэффициент подобия между треугольниками \( \triangle ACD \) и \( \triangle ABE \) равен \( \frac{4}{7} \).
Используем коэффициент подобия для нахождения \( BE \). По условию, \( CD = 12 \, \text{см} \). Тогда:
\(
\frac{BE}{CD} = \frac{AB}{AC}.
\)
Так как \( AB = AC + CB = 4x + 3x = 7x \), а \( AC = 4x \), имеем:
\(
\frac{BE}{12} = \frac{7}{4}.
\)
Отсюда:
\(
BE = 12 \cdot \frac{7}{4} = 21 \, \text{см}.
\)
Таким образом, точка \( E \) существует, и длина отрезка \( BE \) равна \( 21 \, \text{см} \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.