Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 267 Атанасян — Подробные Ответы
Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.
Рассмотрим плоскость \(AOK\), проходящую через высоту \(KO\) и ребро \(AK\). По условию \(a \parallel ABCDEF\) и \(O_1A_1 \subset a\), \(OA \subset ABCDEF\), следовательно, \(O_1A_1 \parallel OA\). По расширенной теореме Фалеса в плоскости \(AOK\) отрезки \(AK\) и \(KO\) делятся плоскостью \(a\) на пропорциональные части. Аналогично для остальных рёбер. Таким образом, боковые рёбра и высота пирамиды делятся плоскостью \(a\) на пропорциональные части. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачу о пирамиде \(ABCDEFK\) с вершиной \(K\), где \(KO\) — высота, перпендикулярная основанию \(ABCDEF\), и дана плоскость \(a\), параллельная основанию. Требуется доказать, что боковые рёбра и высота пирамиды делятся плоскостью \(a\) на пропорциональные части.
Шаг 1. Построение плоскости \(AOK\). Выберем одно из боковых рёбер, например \(AK\), и проведём плоскость через это ребро и высоту \(KO\). Эта плоскость будет содержать треугольник \(AOK\), где \(O\) — точка пересечения высоты с основанием.
Шаг 2. Анализ параллельности. По условию плоскость \(a\) параллельна основанию \(ABCDEF\), значит, любая прямая, лежащая в \(a\), параллельна соответствующей прямой в основании. В частности, отрезок \(O_1A_1\), принадлежащий плоскости \(a\), параллелен отрезку \(OA\) из основания.
Шаг 3. Применение теоремы Фалеса. В плоскости \(AOK\) прямые \(O_1A_1\) и \(OA\) параллельны, поэтому по расширенной теореме Фалеса секущая плоскость \(a\) делит стороны \(AK\) и \(KO\) пропорционально. То есть, если плоскость \(a\) пересекает \(AK\) в точке \(A_1\), а \(KO\) в точке \(O_1\), то выполняется соотношение:
\[
\frac{KA_1}{A_1A} = \frac{KO_1}{O_1O}
\]
Шаг 4. Обобщение на все рёбра. Аналогичные рассуждения можно провести для любого другого бокового ребра, например \(BK\), \(CK\) и т. д. В каждом случае плоскость \(a\) будет пересекать ребро и высоту, сохраняя пропорциональность деления.
Шаг 5. Вывод. Таким образом, плоскость \(a\), параллельная основанию, делит все боковые рёбра и высоту пирамиды в одинаковом соотношении, что и требовалось доказать. Это свойство является частным случаем общего принципа сечения пирамиды параллельной плоскостью.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.