Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 261 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра взаимно перпендикулярны.
Решение:
Дано: \(ABCD\) — пирамида, \(ABC\) — треугольник, \(AB = BC = CA\), \(DO \perp ABC\), \(DA = DB = DC\).
Доказать: \(DC \perp AB\), \(CH \perp ABD\).
Доказательство:
Так как \(DA = DB = DC\) и \(DO \perp ABC\), то точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести. Тогда \(CD \perp AB\) (по свойству высоты). Далее, \(CH\) — высота в треугольнике \(ABD\), следовательно, \(CH \perp ABD\).
Ответ: что и требовалось доказать.
Рассмотрим доказательство шаг за шагом, избегая формальных обозначений и структурированных списков.
Имеется пирамида с основанием в виде равностороннего треугольника, где все стороны равны между собой. Вершина пирамиды соединена с вершинами основания равными по длине рёбрами. Высота пирамиды опущена из вершины перпендикулярно плоскости основания и проходит через центр описанной окружности треугольника.
Для доказательства перпендикулярности бокового ребра и стороны основания обратим внимание на свойства равностороннего треугольника. Центр описанной окружности в таком треугольнике совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Если провести высоту из вершины пирамиды к основанию, то она пройдёт через этот центр. Боковое ребро, соединяющее вершину пирамиды с вершиной основания, будет лежать в плоскости, содержащей высоту треугольника и высоту пирамиды. Поскольку сторона основания перпендикулярна высоте треугольника, а высота пирамиды перпендикулярна всей плоскости основания, то и боковое ребро окажется перпендикулярным стороне основания.
Теперь рассмотрим перпендикуляр из вершины основания к боковой грани. Эта грань представляет собой равнобедренный треугольник, так как все боковые рёбра равны. Если опустить перпендикуляр из вершины основания на эту грань, то он будет лежать в плоскости, содержащей высоту пирамиды и высоту треугольника в основании. Благодаря свойствам равностороннего треугольника и равенству боковых рёбер, этот перпендикуляр окажется перпендикулярным всей боковой грани.
Таким образом, оба утверждения следуют из геометрических свойств равностороннего треугольника и симметрии заданной пирамиды. Перпендикулярность ребра и стороны основания вытекает из взаимного расположения высот, а перпендикулярность к боковой грани обеспечивается равенством длин рёбер и особенностями проекций.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.