Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 257 Атанасян — Подробные Ответы
Высота правильной треугольной пирамиды равна \(h\), а двугранный угол при стороне основания равен \(45^\circ\). Найдите площадь поверхности пирамиды.
Дано: пирамида \(ABCD\), в основании которой равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(x\), высота пирамиды \(DO = h\), угол \(\angle DEO = 45^\circ\). Найти площадь полной поверхности пирамиды \(S_{\text{поверхности}}\).
Сначала выразим длину \(OE\) из условия задачи: \(OE = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\). Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(DE = OE = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\).
Используем теорему Пифагора в треугольнике \(\triangle DOE\):
\(
DE^2 = DO^2 + OE^2 = h^2 + \left(\frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\right)^2 = h^2 + \frac{12 \cdot h^2}{x^2}.
\)
Площадь основания пирамиды равна площади равностороннего треугольника:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2.
\)
Площадь боковой грани \(S_{\text{ADE}}\):
\(
S_{\text{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{h^2 + \frac{12 \cdot h^2}{x^2}}.
\)
Полная площадь поверхности пирамиды:
\(
S_{\text{поверхности}} = S_{\text{осн}} + 3 \cdot S_{\text{ADE}}.
\)
Подставляем \(x = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot h\):
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \cdot \sqrt{3} \cdot h)^2 = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot h^2,
\)
\(
S_{\text{ADE}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot h^2.
\)
Итоговая площадь:
\(
S_{\text{поверхности}} = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot h^2 + 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot h^2 = h^2 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{6}).
\)
Дано: пирамида \(ABCD\), в основании которой лежит равносторонний треугольник \(ABC\) со сторонами \(AB = BC = CA = x\). Высота пирамиды \(DO = h\), угол \(\angle DEO = 45^\circ\). Необходимо найти площадь полной поверхности пирамиды \(S_{\text{поверхности}}\).
Сначала выразим длину \(OE\), используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике. В треугольнике \(\triangle DOE\):
\(
\tan(45^\circ) = \frac{DE}{OE}.
\)
Так как \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(DE = OE\). Из условия задачи известно, что \(OE = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\). Следовательно,
\(
DE = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}.
\)
Теперь найдем длину \(DE\), используя теорему Пифагора в треугольнике \(\triangle DOE\). По теореме Пифагора:
\(
DE^2 = DO^2 + OE^2.
\)
Подставляем значения \(DO = h\) и \(OE = \frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\):
\(
DE^2 = h^2 + \left(\frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot h}{x}\right)^2.
\)
Раскрываем квадрат:
\(
DE^2 = h^2 + \frac{4 \cdot 3 \cdot h^2}{x^2}.
\)
Приводим к общему знаменателю:
\(
DE^2 = h^2 \cdot \left(1 + \frac{12}{x^2}\right).
\)
Теперь выразим площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая грань пирамиды \(ADE\) представляет собой равнобедренный треугольник. Его площадь равна:
\(
S_{\text{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot DE.
\)
Подставляем значение \(DE\), найденное ранее:
\(
S_{\text{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot h.
\)
Площадь основания пирамиды \(S_{\text{осн}}\) равна площади равностороннего треугольника \(ABC\):
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2.
\)
Полная площадь поверхности пирамиды состоит из площади основания и трех боковых граней:
\(
S_{\text{поверхности}} = S_{\text{осн}} + 3 \cdot S_{\text{ADE}}.
\)
Подставляем выражения для \(S_{\text{осн}}\) и \(S_{\text{ADE}}\):
\(
S_{\text{поверхности}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2 + 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot h.
\)
Теперь подставим \(x = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot h\) в формулу для площади. Для \(S_{\text{осн}}\):
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2 \cdot \sqrt{3} \cdot h)^2.
\)
Раскрываем квадрат:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 \cdot h^2 = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot h^2.
\)
Для \(S_{\text{ADE}}\):
\(
S_{\text{ADE}} = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \sqrt{3} \cdot h) \cdot \sqrt{2} \cdot h.
\)
Упрощаем:
\(
S_{\text{ADE}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot h^2.
\)
Полная площадь поверхности:
\(
S_{\text{поверхности}} = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot h^2 + 3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot h^2.
\)
Выносим \(h^2\) за скобки:
\(
S_{\text{поверхности}} = h^2 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{6}).
\)
Ответ:
\(
S_{\text{поверхности}} = h^2 \cdot (3 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{6}).
\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.