Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 252 Атанасян — Подробные Ответы
Основанием пирамиды \(DABC\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), в котором стороны \(AB\) и \(AC\) равны, \(BC = 6 \, \text{см}\), высота \(AH\) равна 9 см. Известно также, что \(DA = DB = DC = 13 \, \text{см}\). Найдите высоту пирамиды
Дано:
\(
ABCD \text{ — пирамида, } ABC \text{ — треугольник, } AC = AB, BC = 6 \, \)
\(\text{см}, DC = DA = DB = 13 \, \text{см}, DO \perp ABCD.
\)
Найти: \(OD\).
Решение:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, значит \(CH = 3 \, \text{см}\).
По теореме Пифагора для \(\triangle CHA\):
\(
CA = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3 \cdot \sqrt{10} \, \text{см}.
\)
По формуле Герона:
\(
S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p — a) \cdot (p — b) \cdot (p — c)},
\)
где \(p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 3 \cdot \sqrt{10} + 3 \cdot \sqrt{10}}{2} = 3 \cdot \sqrt{10} + 3\).
Тогда:
\(
S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot \sqrt{10} + 3) \cdot 3 \cdot (3 \cdot \sqrt{10} — 3)} = \sqrt{9 \cdot 81} = 27 \, \text{см}^2.
\)
Радиус вписанной окружности:
\(
R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot S_{ABC}} = \frac{3 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 \cdot \sqrt{10} \cdot 6}{4 \cdot 27} = 5 \, \text{см}.
\)
По теореме Пифагора для \(\triangle DOA\):
\(
DO = \sqrt{DA^2 — R^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\)
Ответ: \(OD = 12 \, \text{см}\).
Дано:
\(ABCD\) — правильная пирамида, основание которой \(ABC\) — равнобедренный треугольник. Известно, что \(AC = AB\), \(BC = 6 \, \text{см}\), \(DC = DA = DB = 13 \, \text{см}\), \(DO \perp ABCD\). Требуется найти \(OD\).
Для начала определим длину боковой стороны \(CA\). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, \(CH = 3 \, \text{см}\), так как \(CH\) делит \(BC\) пополам (\(BC = 6 \, \text{см}\)).
Применим теорему Пифагора в треугольнике \(\triangle CHA\):
\(CA = \sqrt{AH^2 + CH^2}\), где \(AH = \frac{BC}{2} = 3 \, \text{см}\) и \(CH = 3 \, \text{см}\).
Тогда \(CA = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3 \cdot \sqrt{2} \, \text{см}\).
Теперь вычислим площадь треугольника \(ABC\) по формуле Герона. Полупериметр треугольника равен:
\(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot \sqrt{2} + 6}{2} = 3 \cdot \sqrt{2} + 3\).
Подставим в формулу Герона:
\(S_{ABC} = \sqrt{p \cdot (p — AB) \cdot (p — BC) \cdot (p — AC)}\).
Подставляем значения:
\(S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot \sqrt{2} + 3) \cdot (3 \cdot \sqrt{2} + 3 — 3 \cdot \sqrt{2}) \cdot (3 \cdot \sqrt{2} + 3 — 6) \cdot }\)
\(\cdot\sqrt{(3 \cdot \sqrt{2} + 3 — 3 \cdot \sqrt{2})}\).
Упростим выражение:
\(S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot \sqrt{2} + 3) \cdot 3 \cdot (3 \cdot \sqrt{2} — 3)} = \sqrt{9 \cdot 9} = 27 \, \text{см}^2\).
Теперь найдем радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\) по формуле:
\(R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot S_{ABC}}\).
Подставляем значения:
\(R = \frac{3 \cdot \sqrt{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot 6}{4 \cdot 27} = 5 \, \text{см}\).
Используем теорему Пифагора для треугольника \(\triangle DOA\), чтобы найти высоту \(DO\):
\(DO = \sqrt{DA^2 — R^2}\), где \(DA = 13 \, \text{см}\) и \(R = 5 \, \text{см}\).
Подставляем значения:
\(DO = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}\).
Ответ: \(OD = 12 \, \text{см}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.