Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 250 Атанасян — Подробные Ответы
Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом \(120^\circ\). Боковые рёбра образуют с её высотой, равной 16 см, углы в \(45^\circ\). Найдите площадь основания пирамиды.
Дано: \(AB = BC = x\), \(\angle ABC = 120^\circ\). По теореме косинусов: \(AC^2 = x^2 + x^2 — 2 \cdot x \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3x^2\), значит \(AC = \sqrt{3} \cdot x\). Радиус описанной окружности \(R = x\). Площадь треугольника \(ABC\):
\(S_{\text{осн}} = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot R} = \frac{x \cdot x \cdot (\sqrt{3} \cdot x)}{4 \cdot x} = \frac{\sqrt{3} \cdot x^2}{4}\).
Так как \(R = 16\), подставляем:
\(S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 16^2}{4} = 64 \cdot \sqrt{3}\).
Ответ: \(S_{\text{осн}} = 64 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2\).
Дано: пирамида \(ABCD\), основание которой — равнобедренный треугольник \(ABC\) (\(AB = BC\)), угол между сторонами \(AB\) и \(BC\) равен \(120^\circ\). Высота пирамиды \(DO\) перпендикулярна плоскости основания, длина \(OD = 16\) см. Угол \(\angle DAO = 45^\circ\). Требуется найти площадь основания \(S_{\text{осн}}\).
Обозначим сторону основания \(AB = BC = x\).
Для нахождения длины третьей стороны треугольника \(AC\) используем теорему косинусов:
\(
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ).
\)
Подставляем \(AB = BC = x\) и \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\):
\(
AC^2 = x^2 + x^2 — 2 \cdot x \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 3x^2.
\)
Следовательно:
\(
AC = \sqrt{3} \cdot x.
\)
Теперь воспользуемся теоремой синусов для треугольника \(ABC\), чтобы выразить сторону \(x\) через радиус описанной окружности \(R\). По теореме синусов:
\(
\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2 \cdot R.
\)
Подставляем \(\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(AC = \sqrt{3} \cdot x\):
\(
\frac{\sqrt{3} \cdot x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \cdot R.
\)
Упрощаем:
\(
2 \cdot x = 2 \cdot R \quad \text{то есть} \quad x = R.
\)
Площадь треугольника \(ABC\) можно найти через формулу для площади равнобедренного треугольника:
\(
S_{\text{осн}} = S_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot R}.
\)
Подставляем \(AB = BC = x\) и \(AC = \sqrt{3} \cdot x\):
\(
S_{\text{осн}} = \frac{x \cdot x \cdot (\sqrt{3} \cdot x)}{4 \cdot R} = \frac{\sqrt{3} \cdot x^3}{4 \cdot R}.
\)
Так как \(\triangle DOA\) является прямоугольным и равнобедренным (\(\angle DAO = 45^\circ\)), то \(OA = DO = 16\) см, а радиус описанной окружности \(R = OA = 16\) см.
Подставляем \(R = 16\) в формулу площади:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3} \cdot R^2}{4}.
\)
Подставляем \(R = 16\):
\(
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3} \cdot 16^2}{4} = \frac{\sqrt{3} \cdot 256}{4} = 64 \cdot \sqrt{3}.
\)
Ответ:
\(
S_{\text{осн}} = 64 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2.
\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.