Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 25 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.
Дано: прямая \( l \) не лежит в плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), \( l \parallel AB \), где \( AB = \alpha \cap \beta \).
По теореме: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Прямая \( AB \) лежит в плоскости \( \alpha \), \( l \parallel AB \), значит, \( l \parallel \alpha \).
Аналогично, \( AB \) лежит в плоскости \( \beta \), \( l \parallel AB \), значит, \( l \parallel \beta \).
Ответ: \( l \parallel \alpha \) и \( l \parallel \beta \). Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачу:
Дано:
1. Прямая \( l \) не лежит в плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \).
2. Прямая \( l \parallel AB \), где \( AB \) — прямая, по которой пересекаются плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) (\( AB = \alpha \cap \beta \)).
Требуется доказать:
Прямая \( l \) параллельна плоскостям \( \alpha \) и \( \beta \).
Решение:
1. По условию, прямая \( l \) параллельна прямой \( AB \), то есть \( l \parallel AB \). Это означает, что \( l \) и \( AB \) лежат в одной плоскости, которая не обязательно совпадает с \( \alpha \) или \( \beta \).
2. Напомним теорему о параллельности прямой и плоскости:
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
3. Применим эту теорему к плоскости \( \alpha \):
Прямая \( AB \) лежит в плоскости \( \alpha \), и \( l \parallel AB \). По теореме, прямая \( l \) параллельна плоскости \( \alpha \). Таким образом, \( l \parallel \alpha \).
4. Аналогично доказываем параллельность прямой \( l \) и плоскости \( \beta \):
Прямая \( AB \) лежит в плоскости \( \beta \), и \( l \parallel AB \). По теореме, прямая \( l \) параллельна плоскости \( \beta \). Таким образом, \( l \parallel \beta \).
5. Таким образом, мы доказали, что если прямая \( l \) параллельна прямой \( AB \), по которой пересекаются плоскости \( \alpha \) и \( \beta \), и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна обеим плоскостям \( \alpha \) и \( \beta \).
Ответ: \( l \parallel \alpha \) и \( l \parallel \beta \). Что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.