Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 249 Атанасян — Подробные Ответы
В пирамиде все боковые рёбра равны между собой. Докажите, что:
а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания;
б) все боковые рёбра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.
Дано: Пирамида, боковые ребра равны.
Доказать:
а) Высота проходит через центр описанной окружности.
б) Боковые ребра составляют с основанием равные углы.
Решение:
Так как решение не зависит от количества вершин в основании пирамиды, для простоты возьмем \(n = 3\).
Обозначим \(DO\) как высоту пирамиды.
По построению имеем три равных прямоугольных треугольника:
\(\triangle AOD = \triangle BOD = \triangle COD\) (по гипотенузе и катету).
а) \(AO = BO = CO\), следовательно, \(O\) — центр вписанной окружности. Доказано.
б) \(\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO\). Доказано.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Дано: Пирамида с равными боковыми ребрами. Необходимо доказать два утверждения: высота пирамиды проходит через центр описанной окружности основания, а также, что боковые ребра составляют с основанием равные углы.
Рассмотрим пирамиду, основание которой представляет собой правильный многоугольник. Для простоты чертежа возьмем случай, когда основание является правильным треугольником (n = 3). Пусть \( DO \) — это высота пирамиды, которая перпендикулярна плоскости основания и проходит через центр основания \( O \).
В основании пирамиды лежит правильный треугольник \( ABC \). Его центр \( O \) является одновременно центром описанной окружности треугольника \( ABC \). Боковые ребра \( DA, DB, DC \) равны по условию.
Рассмотрим треугольники \( \triangle AOD, \triangle BOD \) и \( \triangle COD \). Все они являются прямоугольными, так как \( DO \) — высота пирамиды, перпендикулярная основанию. Кроме того, в каждом из этих треугольников гипотенуза равна длине бокового ребра, а один из катетов (общий для всех треугольников) равен радиусу описанной окружности основания.
Из равенства гипотенузы и одного катета следует, что треугольники \( \triangle AOD, \triangle BOD \) и \( \triangle COD \) равны по гипотенузе и катету. Это доказывает, что углы между высотой пирамиды и боковыми ребрами равны:
\(
\angle DAO = \angle DBO = \angle DCO
\)
Так как точки \( A, B, C \) равноудалены от точки \( O \) (\( AO = BO = CO \)), то \( O \) является центром описанной окружности основания. Высота пирамиды \( DO \), проходящая через \( O \), подтверждает это.
Таким образом, доказано, что высота проходит через центр описанной окружности основания и что боковые ребра составляют с основанием равные углы.
Ответ: что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.