Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 241 Атанасян — Подробные Ответы
Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды
Дано: пирамида \(ABCDK\), основание \(ABCD\) — параллелограмм. Известно, что \(AB = 5\), \(BC = 4\), \(BD = 3\), \(OK = 2\), \(OK \perp ABCD\). Найти полную площадь поверхности пирамиды \(S_{\text{полн}}\).
Площадь основания \(ABCD\) равна \(S_{ABCD} = 12 \, \text{м}^2\), так как \(S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot BC = 3 \, \text{м}^2\), а \(S_{ABCD} = 4 \cdot S_{OBC}\).
Высота \(OH\) в треугольнике \(OBC\) равна \(OH = \frac{2 \cdot S_{OBC}}{BC} = 1.5 \, \text{м}\). По теореме Пифагора \(KH = \sqrt{OK^2 + OH^2} = \sqrt{6.25} = 2.5 \, \text{м}\).
Площадь боковой грани \(KBC\) равна \(S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot KH \cdot BC = 5 \, \text{м}^2\). Аналогично, \(S_{KAD} = 5 \, \text{м}^2\).
Высота \(h_{AOB}\) в треугольнике \(AOB\) равна \(h_{AOB} = \frac{2 \cdot S_{OAB}}{AB} = 1.2 \, \text{м}\). По теореме Пифагора \(h_{AKB} = \sqrt{OK^2 + h_{AOB}^2} = \sqrt{5.44}\).
Площадь грани \(KAB\) равна \(S_{KAB} = \frac{1}{2} \cdot h_{AKB} \cdot AB = \sqrt{34} \, \text{м}^2\). Так как \(S_{KCD} = S_{KAB}\), то \(S_{KCD} = \sqrt{34} \, \text{м}^2\).
Полная площадь поверхности пирамиды равна \(S_{\text{полн}} = S_{ABCD} + S_{KAB} + S_{KBC} + S_{KCD} + S_{KAD} = 22 + 2 \cdot \sqrt{34} \, \text{м}^2\).
Дано: пирамида \(ABCDK\), основание \(ABCD\) — параллелограмм. Известно, что \(AB = 5\), \(BC = 4\), \(BD = 3\), \(OK = 2\), \(OK \perp ABCD\). Необходимо найти полную площадь поверхности пирамиды \(S_{\text{полн}}\).
Рассмотрим основание \(ABCD\). Так как это параллелограмм, то его площадь можно найти через удвоенную площадь одного из треугольников, составляющих этот параллелограмм. Рассмотрим треугольник \(CBD\), который является прямоугольным (по условию). По теореме Пифагора:
\(
S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot BC = \frac{1}{4} \cdot BD \cdot BC = 3 \, \text{м}^2
\)
где \(OB = \frac{BD}{2} = \frac{3}{2}\), так как диагонали параллелограмма делятся пополам.
Площадь всего параллелограмма \(ABCD\) равна:
\(
S_{ABCD} = 4 \cdot S_{OBC} = 12 \, \text{м}^2
\)
Теперь определим высоту \(OH\) в треугольнике \(OBC\). Высота \(OH\) связана с площадью следующим образом:
\(
OH \cdot BC = 2 \cdot S_{OBC}
\)
Отсюда высота \(OH\) находится как:
\(
OH = \frac{2 \cdot S_{OBC}}{BC} = \frac{6}{4} = 1.5 \, \text{м}
\)
Рассмотрим треугольник \(KOH\), который является прямоугольным. Известно, что \(OK = 2\) и \(OH = 1.5\). Найдем \(KH\) по теореме Пифагора:
\(
KH = \sqrt{OK^2 + OH^2} = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = \sqrt{4 + 2.25} = \sqrt{6.25} = 2.5 \, \text{м}
\)
Теперь найдем площадь боковой грани \(KBC\). Она равна:
\(
S_{KBC} = \frac{1}{2} \cdot KH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2.5 \cdot 4 = 5 \, \text{м}^2
\)
Аналогично, площадь грани \(KAD\) также равна \(5 \, \text{м}^2\), так как \(KAD\) симметрична \(KBC\).
Рассмотрим треугольник \(AOB\). Его площадь равна:
\(
S_{OAB} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 5 = 3 \, \text{м}^2
\)
Высота \(h_{AOB}\) в этом треугольнике находится как:
\(
h_{AOB} = \frac{2 \cdot S_{OAB}}{AB} = \frac{2 \cdot 3}{5} = 1.2 \, \text{м}
\)
Теперь рассмотрим треугольник \(KAB\), который также является прямоугольным. Найдем его высоту \(h_{AKB}\) по теореме Пифагора:
\(
h_{AKB} = \sqrt{OK^2 + h_{AOB}^2} = \sqrt{2^2 + 1.2^2} = \sqrt{4 + 1.44} = \sqrt{5.44}
\)
Площадь грани \(KAB\) равна:
\(
S_{KAB} = \frac{1}{2} \cdot h_{AKB} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5.44} \cdot 5 = \sqrt{34} \, \text{м}^2
\)
Так как \(KCD\) симметрична \(KAB\), то ее площадь также равна:
\(
S_{KCD} = \sqrt{34} \, \text{м}^2
\)
Полная площадь поверхности пирамиды складывается из площади основания и всех боковых граней:
\(
S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = S_{ABCD} + S_{KAB} + S_{KBC} + S_{KCD} + S_{KAD}
\)
Подставим значения:
\(
S_{\text{полн}} = 12 + \sqrt{34} + 5 + \sqrt{34} + 5 = 22 + 2 \cdot \sqrt{34} \, \text{м}^2
\)
Ответ:
\(
S_{\text{полн}} = 22 + 2 \cdot \sqrt{34} \, \text{м}^2
\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.