ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 234 Атанасян — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Дано:
Призма \(ABCA_1B_1C_1\), прямоугольная.
\(CD = DA\), \(AA_1 = 42 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AB = 21 \, \text{см}\), \(\angle ABC = 90^\circ\).

Найти:
\(S_{E_1D_1D} = ?\)

Решение:

Из теоремы Пифагора для \(\triangle ABC\):
\(
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, \text{см}.
\)
Так как \(AD = \frac{AC}{2} = \frac{29}{2} = 14,5 \, \text{см}\).

Треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADE\) подобны (по двум углам: прямой и общий):
\(
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE}.
\)
Отсюда:
\(
DE = \frac{AD \cdot BC}{AB} = \frac{14,5 \cdot 20}{21} = \frac{290}{21} \, \text{см}.
\)

Площадь искомой грани:
\(
S_{E_1D_1D} = DE \cdot E_1E = DE \cdot AA_1 = \frac{290}{21} \cdot 42 = 580 \, \text{см}^2.
\)

Ответ:
\(S_{E_1D_1D} = 580 \, \text{см}^2\).

Дано, что призма \(ABCA_1B_1C_1\) прямая, и её основание \(ABC\) представляет собой прямоугольный треугольник (\(\angle ABC = 90^\circ\)). Также известно, что \(CD = DA\), \(AA_1 = 42 \, \text{см}\), \(BC = 20 \, \text{см}\), \(AB = 21 \, \text{см}\). Требуется найти площадь боковой грани \(S_{E_1D_1D}\).

Для нахождения площади грани необходимо определить длину отрезка \(DE\), так как \(S_{E_1D_1D} = DE \cdot AA_1\). Перейдём к вычислениям.

Сначала найдём гипотенузу \(AC\) треугольника \(ABC\) с помощью теоремы Пифагора:
\(
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.
\)
Подставляем значения:
\(
AC = \sqrt{21^2 + 20^2} = \sqrt{441 + 400} = \sqrt{841} = 29 \, \text{см}.
\)

Так как \(CD = DA\), то \(AD = \frac{AC}{2}\):
\(
AD = \frac{29}{2} = 14,5 \, \text{см}.
\)

Теперь рассмотрим подобие треугольников \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADE\). Они подобны, так как имеют два одинаковых угла: прямой угол и общий угол при вершине \(A\). Из подобия следует пропорция:
\(
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE}.
\)
Выразим \(DE\):
\(
DE = \frac{AD \cdot BC}{AB}.
\)
Подставим известные значения:
\(
DE = \frac{14,5 \cdot 20}{21} = \frac{290}{21} \, \text{см}.
\)

Теперь можно найти площадь боковой грани \(S_{E_1D_1D}\). Площадь равна произведению высоты \(AA_1\) и основания \(DE\):
\(
S_{E_1D_1D} = DE \cdot AA_1.
\)
Подставим значения:
\(
S_{E_1D_1D} = \frac{290}{21} \cdot 42.
\)
Сократим \(42\) и \(21\):
\(
S_{E_1D_1D} = \frac{290 \cdot 2}{1} = 580 \, \text{см}^2.
\)

Таким образом, площадь боковой грани равна \(S_{E_1D_1D} = 580 \, \text{см}^2\).