ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 233 Атанасян — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы \(ABCA_1B_1C_1\) является прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(B\). Через ребро \(BB_1\) проведено сечение \(BB_1D_1D\), перпендикулярное к плоскости грани \(AA_1C_1C\). Найдите площадь сечения, если \(AA_1 = 10\) см, \(AD = 27\) см, \(DC = 12\) см.

Дано:
Призма \(ABCA_1B_1C_1\), где:
\(
AA_1 = 10 \, \text{см}, \, AD = 27 \, \text{см}, \, DC = 12 \, \text{см}, \, \angle ABC = 90^\circ.
\)
Найти:
\(
S_{B B_1 D_1 D}.
\)

Решение:
Очевидно, что \(B B_1 D_1 D\) — прямоугольник, а \(BD\) — высота треугольника \(\triangle ABC\).

Высота \(\triangle ABC\) равна:
\(
h_{ABC} = \sqrt{CD \cdot DA} = \sqrt{27 \cdot 12} = \sqrt{324} = 18 \, \text{см}.
\)

Площадь \(S_{B B_1 D_1 D}\):
\(
S_{B B_1 D_1 D} = BD \cdot BB_1 = h_{ABC} \cdot BB_1 = 18 \cdot 10 = 180 \, \text{см}^2.
\)

Ответ:
\(
S_{B B_1 D_1 D} = 180 \, \text{см}^2.
\)

Дано, что призма \( ABCA_1B_1C_1 \) — прямая, то есть боковые ребра \( AA_1, BB_1, CC_1 \) перпендикулярны основанию \( ABC \). Это значит, что боковые грани \( BB_1D_1D \) являются прямоугольниками.

В треугольнике \( \triangle ABC \) угол \( \angle ABC = 90^\circ \), следовательно, \( AB \) и \( BC \) — катеты, а \( AC \) — гипотенуза. По условию, \( AD = 27 \, \text{см} \), \( DC = 12 \, \text{см} \). Отрезок \( BD \) является высотой треугольника \( \triangle ABC \), проведенной из вершины \( B \) к гипотенузе \( AC \).

Для нахождения площади прямоугольника \( BB_1D_1D \) необходимо знать его стороны. Одной стороной является высота \( BD \), а другой — боковое ребро призмы \( BB_1 \), которое по условию равно \( 10 \, \text{см} \).

Сначала найдем высоту \( BD \) треугольника \( \triangle ABC \). Высота треугольника, опущенная на гипотенузу, вычисляется по формуле:
\(
h_{ABC} = \frac{a \cdot b}{c},
\)
где \( a \) и \( b \) — катеты треугольника, а \( c \) — гипотенуза. Однако здесь проще воспользоваться формулой:
\(
h_{ABC} = \sqrt{CD \cdot DA}.
\)
Подставляем значения:
\(
h_{ABC} = \sqrt{27 \cdot 12} = \sqrt{324} = 18 \, \text{см}.
\)

Теперь, зная \( h_{ABC} = BD \) и \( BB_1 = 10 \, \text{см} \), можно найти площадь прямоугольника \( BB_1D_1D \):
\(
S_{BB_1D_1D} = BD \cdot BB_1.
\)
Подставляем значения:
\(
S_{BB_1D_1D} = 18 \cdot 10 = 180 \, \text{см}^2.
\)

Ответ:
\(
S_{BB_1D_1D} = 180 \, \text{см}^2.
\)