Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 229 Атанасян — Подробные Ответы
В правильной \(n\)-угольной призме сторона основания равна \(a\) и высота равна \(h\). Вычислите площади боковой и полной поверхности призмы, если:
а) \(n = 3\), \(a = 10\) см, \(h = 15\) см;
б) \(n = 4\), \(a = 12\) дм, \(h = 8\) дм;
в) \(n = 6\), \(a = 23\) см, \(h = 5\) дм;
г) \(n = 5\), \(a = 0,4\) м, \(h = 10\) см.
Дана \(n\)-угольная правильная призма с высотой \(h\) и стороной основания \(a\). Полная площадь призмы вычисляется по формуле:
\(
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}
\)
где \(S_{\text{бок}} = n \cdot a \cdot h\), а площадь основания равна:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right)
\)
Подставляем данные для каждого случая:
a) \(n = 3\), \(a = 10 \, \text{см}\), \(h = 15 \, \text{см}\):
\(
S_{\text{бок}} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{осн}} = \frac{3 \cdot 10^2}{4} \cdot \cot(60^\circ) = \frac{3 \cdot 100}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 43,3 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{полн}} = 450 + 2 \cdot 43,3 = 536,6 \, \text{см}^2
\)
б) \(n = 4\), \(a = 12 \, \text{дм}\), \(h = 8 \, \text{дм}\):
\(
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \, \text{дм}^2
\)
\(
S_{\text{осн}} = \frac{4 \cdot 12^2}{4} = 144 \, \text{дм}^2
\)
\(
S_{\text{полн}} = 384 + 2 \cdot 144 = 672 \, \text{дм}^2
\)
в) \(n = 6\), \(a = 23 \, \text{см}\), \(h = 5 \, \text{дм}\):
\(
S_{\text{бок}} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{осн}} = \frac{6 \cdot 23^2}{4} \cdot \cot(30^\circ) = \frac{6 \cdot 529}{4} \cdot \sqrt{3} = 1749,5 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{полн}} = 6900 + 2 \cdot 1749,5 = 9649 \, \text{см}^2
\)
г) \(n = 5\), \(a = 0,4 \, \text{м}\), \(h = 10 \, \text{см}\):
\(
S_{\text{бок}} = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot 40^2}{4} \cdot \cot(36^\circ) = 2752,5 \, \text{см}^2
\)
\(
S_{\text{полн}} = 2000 + 2 \cdot 2752,5 = 7505 \, \text{см}^2
\)
Для решения задачи о нахождении полной площади правильной призмы \(S_{\text{полн}}\) нужно учитывать, что она состоит из боковой поверхности \(S_{\text{бок}}\) и двух оснований \(S_{\text{осн}}\). Формула для вычисления выглядит так:
\(
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}
\)
Вначале определяем формулу для боковой поверхности. Боковая поверхность правильной призмы состоит из \(n\) прямоугольников, где \(n\) — количество сторон основания. Площадь каждого прямоугольника равна произведению стороны основания \(a\) на высоту призмы \(h\). Таким образом, общая площадь боковой поверхности:
\(
S_{\text{бок}} = n \cdot a \cdot h
\)
Теперь определяем площадь одного правильного \(n\)-угольного основания. Формула площади правильного многоугольника через длину стороны \(a\) и количество сторон \(n\) записывается как:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right)
\)
Зная эти формулы, подставляем значения из условия для каждого случая.
Для случая \(a\):
Дано \(n = 3\), \(a = 10 \, \text{см}\), \(h = 15 \, \text{см}\). Сначала находим боковую поверхность:
\(
S_{\text{бок}} = 3 \cdot 10 \cdot 15 = 450 \, \text{см}^2
\)
Теперь вычисляем площадь одного основания. Для правильного треугольника (\(n = 3\)) угол равен \(60^\circ\), а \(\cot(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Тогда:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{3 \cdot 10^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 \cdot 100}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 43,3 \, \text{см}^2
\)
Подставляем значения в формулу полной площади:
\(
S_{\text{полн}} = 450 + 2 \cdot 43,3 = 536,6 \, \text{см}^2
\)
Для случая \(b\):
Дано \(n = 4\), \(a = 12 \, \text{дм}\), \(h = 8 \, \text{дм}\). Сначала находим боковую поверхность:
\(
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 12 \cdot 8 = 384 \, \text{дм}^2
\)
Теперь вычисляем площадь одного основания. Для квадрата (\(n = 4\)) угол равен \(45^\circ\), а \(\cot(45^\circ) = 1\). Тогда:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{4 \cdot 12^2}{4} \cdot 1 = 144 \, \text{дм}^2
\)
Подставляем значения в формулу полной площади:
\(
S_{\text{полн}} = 384 + 2 \cdot 144 = 672 \, \text{дм}^2
\)
Для случая \(c\):
Дано \(n = 6\), \(a = 23 \, \text{см}\), \(h = 5 \, \text{дм}\). Сначала находим боковую поверхность. Переводим высоту в сантиметры: \(h = 50 \, \text{см}\).
\(
S_{\text{бок}} = 6 \cdot 23 \cdot 50 = 6900 \, \text{см}^2
\)
Теперь вычисляем площадь одного основания. Для правильного шестиугольника (\(n = 6\)) угол равен \(30^\circ\), а \(\cot(30^\circ) = \sqrt{3}\). Тогда:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{6 \cdot 23^2}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{6 \cdot 529}{4} \cdot \sqrt{3} = 1749,5 \, \text{см}^2
\)
Подставляем значения в формулу полной площади:
\(
S_{\text{полн}} = 6900 + 2 \cdot 1749,5 = 9649 \, \text{см}^2
\)
Для случая \(d\):
Дано \(n = 5\), \(a = 0,4 \, \text{м}\), \(h = 10 \, \text{см}\). Переводим сторону основания в сантиметры: \(a = 40 \, \text{см}\). Сначала находим боковую поверхность:
\(
S_{\text{бок}} = 5 \cdot 40 \cdot 10 = 2000 \, \text{см}^2
\)
Теперь вычисляем площадь одного основания. Для правильного пятиугольника (\(n = 5\)) угол равен \(36^\circ\), а \(\cot(36^\circ)\) берется из таблицы. Тогда:
\(
S_{\text{осн}} = \frac{5 \cdot 40^2}{4} \cdot \cot(36^\circ) = 2752,5 \, \text{см}^2
\)
Подставляем значения в формулу полной площади:
\(
S_{\text{полн}} = 2000 + 2 \cdot 2752,5 = 7505 \, \text{см}^2
\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.