Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 227 Атанасян — Подробные Ответы
Основание призмы — правильный треугольник \(ABC\). Боковое ребро \(AA_1\) образует равные углы со сторонами основания \(AC\) и \(AB\). Докажите, что:
а) \(BC \perp AA_1\);
б) \(CC_1B_1B\) — прямоугольник
Дано: \(ABCA_1B_1C_1\) — призма, \(ABC\) — правильный треугольник, \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).
Доказать:
а) \(BC \perp AA_1\)
б) \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Решение:
Отметим середину отрезка \(CB: CH = CB\), обозначим сторону треугольника за \(x\), \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).
Рассмотрим \(\triangle CAA_1\) и \(\triangle BAA_1\). Они равны по признаку: сторона \(x\), угол \(\varphi\), общая сторона \(CA_1 = BA_1\).
Рассмотрим \(\triangle BCA\) и \(\triangle BCA_1\). Оба треугольника равнобедренные, медианы, проведённые к основанию \(BC\), являются высотами:
\(BC \perp HA_1\), \(BC \perp HA\) \(\Rightarrow BC \perp AHA_1 \Rightarrow BC \perp AA_1\).
По построению призмы \(CC_1B_1B\) — параллелограмм. Так как \(AA_1 \parallel CC_1\), \(CC_1 \perp BC \Rightarrow CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Ответ: \(BC \perp AA_1\), \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Дано, что \(ABCA_1B_1C_1\) — это призма, основание которой \(ABC\) является правильным треугольником, а углы \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\). Требуется доказать два утверждения: \(BC \perp AA_1\) и \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Для доказательства проведём дополнительные построения. Отметим середину отрезка \(CB\) точкой \(H\), так что \(CH = CB\). Обозначим сторону правильного треугольника \(ABC\) за \(x\), а углы \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle CAA_1\) и \(\triangle BAA_1\). Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, так как:
1) сторона \(CA = BA = x\),
2) угол \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\),
3) общая сторона \(AA_1\).
Следовательно, треугольники равны, и их соответствующие элементы также равны.
Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle BCA\) и \(\triangle BCA_1\). Эти треугольники равнобедренные, так как \(CA = CB = x\) и \(CA_1 = CB_1 = x\). В равнобедренных треугольниках медианы, проведённые к основанию, являются также высотами. Это означает, что отрезки \(HA\) и \(HA_1\), проведённые из точки \(H\) к \(BC\), перпендикулярны \(BC\). Таким образом, \(BC \perp HA\) и \(BC \perp HA_1\). Из этого следует, что \(BC \perp AHA_1\), а значит, \(BC \perp AA_1\). Это доказывает первое утверждение.
Теперь рассмотрим четырёхугольник \(CC_1B_1B\). По построению призмы \(CC_1B_1B\) является параллелограммом, так как противоположные стороны \(CC_1\) и \(BB_1\), а также \(CB\) и \(C_1B_1\) параллельны. Кроме того, \(AA_1 \parallel CC_1\), а \(CC_1 \perp BC\). Так как одна из сторон параллелограмма перпендикулярна другой стороне, \(CC_1B_1B\) является прямоугольником. Это доказывает второе утверждение.
Таким образом, доказано, что \(BC \perp AA_1\) и \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.