ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 227 Атанасян — Подробные Ответы

Основание призмы — правильный треугольник \(ABC\). Боковое ребро \(AA_1\) образует равные углы со сторонами основания \(AC\) и \(AB\). Докажите, что:
а) \(BC \perp AA_1\);
б) \(CC_1B_1B\) — прямоугольник

Дано: \(ABCA_1B_1C_1\) — призма, \(ABC\) — правильный треугольник, \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).

Доказать:
а) \(BC \perp AA_1\)
б) \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.

Решение:
Отметим середину отрезка \(CB: CH = CB\), обозначим сторону треугольника за \(x\), \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).

Рассмотрим \(\triangle CAA_1\) и \(\triangle BAA_1\). Они равны по признаку: сторона \(x\), угол \(\varphi\), общая сторона \(CA_1 = BA_1\).

Рассмотрим \(\triangle BCA\) и \(\triangle BCA_1\). Оба треугольника равнобедренные, медианы, проведённые к основанию \(BC\), являются высотами:
\(BC \perp HA_1\), \(BC \perp HA\) \(\Rightarrow BC \perp AHA_1 \Rightarrow BC \perp AA_1\).

По построению призмы \(CC_1B_1B\) — параллелограмм. Так как \(AA_1 \parallel CC_1\), \(CC_1 \perp BC \Rightarrow CC_1B_1B\) — прямоугольник.

Ответ: \(BC \perp AA_1\), \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.

Дано, что \(ABCA_1B_1C_1\) — это призма, основание которой \(ABC\) является правильным треугольником, а углы \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\). Требуется доказать два утверждения: \(BC \perp AA_1\) и \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.

Для доказательства проведём дополнительные построения. Отметим середину отрезка \(CB\) точкой \(H\), так что \(CH = CB\). Обозначим сторону правильного треугольника \(ABC\) за \(x\), а углы \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle CAA_1\) и \(\triangle BAA_1\). Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, так как:
1) сторона \(CA = BA = x\),
2) угол \(\angle CAA_1 = \angle BAA_1 = \varphi\),
3) общая сторона \(AA_1\).
Следовательно, треугольники равны, и их соответствующие элементы также равны.

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle BCA\) и \(\triangle BCA_1\). Эти треугольники равнобедренные, так как \(CA = CB = x\) и \(CA_1 = CB_1 = x\). В равнобедренных треугольниках медианы, проведённые к основанию, являются также высотами. Это означает, что отрезки \(HA\) и \(HA_1\), проведённые из точки \(H\) к \(BC\), перпендикулярны \(BC\). Таким образом, \(BC \perp HA\) и \(BC \perp HA_1\). Из этого следует, что \(BC \perp AHA_1\), а значит, \(BC \perp AA_1\). Это доказывает первое утверждение.

Теперь рассмотрим четырёхугольник \(CC_1B_1B\). По построению призмы \(CC_1B_1B\) является параллелограммом, так как противоположные стороны \(CC_1\) и \(BB_1\), а также \(CB\) и \(C_1B_1\) параллельны. Кроме того, \(AA_1 \parallel CC_1\), а \(CC_1 \perp BC\). Так как одна из сторон параллелограмма перпендикулярна другой стороне, \(CC_1B_1B\) является прямоугольником. Это доказывает второе утверждение.

Таким образом, доказано, что \(BC \perp AA_1\) и \(CC_1B_1B\) — прямоугольник.