Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 225 Атанасян — Подробные Ответы
Диагональ правильной четырёхугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в \(30^\circ\). Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.
Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — правильная призма, \(\angle (AC_1, AD_1) = 30^\circ\).
Найти: \(\angle (AC_1, ABC)\).
Обозначим сторону квадрата основания за \(x\), тогда диагональ квадрата равна \(x \cdot \sqrt{2}\).
По построению: \(\angle (C_1AC) = \angle (AC_1, ABC)\).
По условию: \(\angle (C_1AD_1) = \angle (AC_1, AD_1) = 30^\circ\).
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \(\triangle C_1AC\) и \(\triangle C_1AD_1\).
Выразим общую сторону \(AC_1\):
Из \(\triangle C_1AC\):
\(
AC_1 = \frac{AC}{\cos(\varphi)} = \frac{x \cdot \sqrt{2}}{\cos(\varphi)} \quad (*)
\)
Из \(\triangle C_1AD_1\):
\(
AC_1 = \frac{D_1C_1}{\sin(30^\circ)} = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2x \quad (**)
\)
Приравниваем \((*)\) и \((**)\):
\(
\frac{x \cdot \sqrt{2}}{\cos(\varphi)} = 2x
\)
\(
\cos(\varphi) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \, \varphi = 45^\circ
\)
Ответ: \(\angle (AC_1, ABC) = 45^\circ\).
Дано: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — правильная призма, основанием которой является квадрат. Угол между диагональю боковой грани \( AC_1 \) и диагональю другой боковой грани \( AD_1 \) равен \( 30^\circ \). Требуется найти угол между диагональю боковой грани \( AC_1 \) и плоскостью основания \( ABC \), то есть угол \( \angle(AC_1, ABC) \).
Поскольку призма правильная, основание — квадрат. Обозначим сторону квадрата основания за \( x \). Тогда диагональ квадрата равна \( x \cdot \sqrt{2} \).
По условию, угол \( \angle(AC_1, AD_1) = 30^\circ \). По построению, угол \( \angle(C_1AC) = \angle(AC_1, ABC) \), который нужно найти.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \( \triangle C_1AC \) и \( \triangle C_1AD_1 \). В этих треугольниках общей стороной является \( AC_1 \). Выразим эту сторону через разные данные для каждого треугольника.
В треугольнике \( \triangle C_1AC \) гипотенуза \( AC_1 \) связана с диагональю квадрата основания \( AC \). Используем соотношение:
\(
AC_1 = \frac{AC}{\cos(\varphi)}
\)
где \( AC = x \cdot \sqrt{2} \). Тогда:
\(
AC_1 = \frac{x \cdot \sqrt{2}}{\cos(\varphi)} \quad (*)
\)
В треугольнике \( \triangle C_1AD_1 \) гипотенуза \( AC_1 \) связана с высотой призмы \( D_1C_1 \). Высота равна стороне основания \( x \). Используем соотношение:
\(
AC_1 = \frac{D_1C_1}{\sin(30^\circ)}
\)
где \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \). Тогда:
\(
AC_1 = \frac{x}{\frac{1}{2}} = 2x \quad (**)
\)
Приравниваем выражения для \( AC_1 \) из уравнений \((*)\) и \((**)\):
\(
\frac{x \cdot \sqrt{2}}{\cos(\varphi)} = 2x
\)
Сокращаем на \( x \) (так как \( x > 0 \)):
\(
\frac{\sqrt{2}}{\cos(\varphi)} = 2
\)
Умножаем обе части на \( \cos(\varphi) \):
\(
\sqrt{2} = 2 \cdot \cos(\varphi)
\)
Делим обе части на 2:
\(
\cos(\varphi) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\)
Отсюда:
\(
\varphi = 45^\circ
\)
Таким образом, угол между диагональю боковой грани \( AC_1 \) и плоскостью основания \( ABC \) равен \( 45^\circ \).
Ответ: \( \angle(AC_1, ABC) = 45^\circ \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.