ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 22 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков \(AC\) и \(BC\), параллельна плоскости \(\alpha\).

Точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), следовательно, прямая \(AB\) лежит в \(\alpha\). Точки \(D\) и \(E\) — середины отрезков \(AC\) и \(BC\), соответственно. Прямая \(DE\) является средней линией треугольника \(ABC\), поэтому \(
DE \parallel AB.
\)

Так как \(AB \subset \alpha\), то \(DE \parallel \alpha\) по теореме о параллельности прямой и плоскости.

Ответ: \(
DE \parallel \alpha.
\)

Дано: точки \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), а точка \(C\) не лежит в плоскости \(\alpha\). Отрезки \(AC\) и \(BC\) соединяют точку \(C\) с точками \(A\) и \(B\), соответственно. Прямая \(DE\) проходит через середины отрезков \(AC\) и \(BC\). Требуется доказать, что \(DE \parallel \alpha\).

Пусть \(D\) и \(E\) — середины отрезков \(AC\) и \(BC\), соответственно. Тогда по определению средней линии треугольника \(ABC\), прямая \(DE\) является средней линией треугольника \(ABC\). Средняя линия обладает следующими свойствами:

\(
DE \parallel AB \quad \text{и} \quad DE = \frac{1}{2} AB.
\)

Так как \(A\) и \(B\) лежат в плоскости \(\alpha\), то отрезок \(AB\) также лежит в плоскости \(\alpha\). Следовательно, прямая \(DE\), будучи параллельной прямой \(AB\), которая лежит в плоскости \(\alpha\), по теореме о параллельности прямой и плоскости, не лежащей в этой плоскости, параллельна плоскости \(\alpha\).

Таким образом, доказано, что прямая \(DE \parallel \alpha\).

Ответ: \(
DE \parallel \alpha.
\)