Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 216 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(A\) и \(B\) лежат на ребре данного двугранного угла, равного \(120^\circ\). Отрезки \(AC\) и \(BD\) проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок \(CD\), если \(AB = AC = BD = a\)
Дано:
\( AB = AC = BD = a \),
\(\angle (\alpha, \beta) = 120^\circ\),
\( AD \perp AB \), \( CB \perp AB \).
Найти: \( CD \).
Решение:
В треугольнике \( \triangle ABD \) прямоугольный, по теореме Пифагора:
\(
AD = \sqrt{(DB)^2 + (AB)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a \cdot \sqrt{2}.
\)
Угол \(\angle DAC = 120^\circ\). По теореме косинусов:
\(
DC^2 = AD^2 + AC^2 — 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos (\angle DAC).
\)
Подставим значения:
\(
DC^2 = (a \cdot \sqrt{2})^2 + a^2 — 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).
\)
\(
DC^2 = 2a^2 + a^2 + a^2 = 4a^2.
\)
\(
DC = \sqrt{4a^2} = 2a.
\)
Ответ: \( CD = 2a \).
Дано:
\( AB = AC = BD = a \),
\(\angle (\alpha, \beta) = 120^\circ\),
\( AD \perp AB \), \( CB \perp AB \).
Найти: \( CD \).
Рассмотрим треугольник \( \triangle ABD \). Он является прямоугольным, так как \( AD \perp AB \). По теореме Пифагора для треугольника \( \triangle ABD \) находим длину гипотенузы \( AD \):
\(
AD = \sqrt{(DB)^2 + (AB)^2}.
\)
Подставляем значения \( DB = a \) и \( AB = a \):
\(
AD = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}.
\)
Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ADC \). В этом треугольнике угол \( \angle DAC = 120^\circ \). Для нахождения \( CD \) используем теорему косинусов:
\(
DC^2 = AD^2 + AC^2 — 2 \cdot AD \cdot AC \cdot \cos(\angle DAC).
\)
Подставляем значения:
\(
DC^2 = (a \cdot \sqrt{2})^2 + a^2 — 2 \cdot (a \cdot \sqrt{2}) \cdot a \cdot \cos(120^\circ).
\)
Сначала вычислим \( \cos(120^\circ) \). Из тригонометрии известно, что \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \). Подставляем это значение:
\(
DC^2 = (a \cdot \sqrt{2})^2 + a^2 — 2 \cdot (a \cdot \sqrt{2}) \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right).
\)
Выполним поэтапные вычисления.
Во-первых, вычислим \( (a \cdot \sqrt{2})^2 \):
\(
(a \cdot \sqrt{2})^2 = 2a^2.
\)
Во-вторых, вычислим произведение \( -2 \cdot (a \cdot \sqrt{2}) \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \):
\(
-2 \cdot a \cdot \sqrt{2} \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = a^2 \cdot \sqrt{2}.
\)
Теперь подставим все в формулу:
\(
DC^2 = 2a^2 + a^2 + a^2 \cdot \sqrt{2}.
\)
Сложим однородные члены:
\(
DC^2 = 2a^2 + a^2 + a^2 = 4a^2.
\)
Найдем \( DC \), извлекая квадратный корень:
\(
DC = \sqrt{4a^2} = 2a.
\)
Ответ: \( CD = 2a \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.