ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 214 Атанасян — Подробные Ответы

Проекцией прямоугольника \(ABCD\) на плоскость \(\alpha\) является квадрат \(ABC_1D_1\). Вычислите угол \(\phi\) между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью прямоугольника \(ABCD\), если \(AB : BC = 1 : 2\).

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(ABC_1D_1\) — квадрат, \(AB : BC = 2 : 1\). Найти \(\angle(ABCD, \alpha)\).

Обозначим меньшую сторону прямоугольника за \(x\), тогда большая — \(2x\).

Рассмотрим \(\triangle DAD_1\), он прямоугольный.

\(
\cos(\angle DAD_1) = \frac{AD_1}{AD} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } \angle DAD_1 = 60^\circ.
\)

Ответ: \(\angle(ABCD, \alpha) = 60^\circ\).

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник, \(ABC_1D_1\) — квадрат, \(AB : BC = 2 : 1\). Необходимо найти угол \(\angle(ABCD, \alpha)\).

Сначала заметим, что по условию \(AD \perp AB\) и \(AD_1 \perp AB\). Следовательно, угол между плоскостью прямоугольника \(ABCD\) и плоскостью квадрата \(ABC_1D_1\) равен углу между прямыми \(AD\) и \(AD_1\), то есть \(\angle(ABCD, \alpha) = \angle DAD_1\).

Обозначим меньшую сторону прямоугольника за \(x\). Тогда большая сторона, согласно соотношению сторон \(AB : BC = 2 : 1\), равна \(2x\).

Рассмотрим треугольник \(DAD_1\). Этот треугольник является прямоугольным, так как \(DD_1 \perp плоскости\). В этом треугольнике гипотенуза \(AD\) равна \(2x\), а катет \(AD_1\) равен \(x\).

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:
\(
\cos(\angle DAD_1) = \frac{AD_1}{AD}.
\)

Подставляем значения:
\(
\cos(\angle DAD_1) = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}.
\)

Так как \(\cos(\angle DAD_1) = \frac{1}{2}\), то \(\angle DAD_1 = 60^\circ\).

Следовательно, \(\angle(ABCD, \alpha) = 60^\circ\).