Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 213 Атанасян — Подробные Ответы
Правильные треугольники \(ABC\) и \(DBC\) расположены так, что вершина \(D\) проектируется в центр треугольника \(ABC\). Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.
Дано: \(\triangle ABC\), \(\triangle DBC\) – правильные, \(O\) – центр треугольника \(\triangle ABC\), \(DO \perp ABC\).
Найти: \(\angle(ABC, DBC)\).
Обозначим радиус вписанной окружности правильного \(\triangle ABC\) через \(r\), а сторону \(\triangle ABC\) за \(x\).
Из курса планиметрии известно, что:
\(
r = \frac{x}{2 \cdot \sqrt{3}}
\)
Рассмотрим \(\triangle DHB\):
По теореме Пифагора:
\(
DH = \sqrt{(DB)^2 — (HB)^2} = \sqrt{x^2 — \left(\frac{x}{2}\right)^2} = x \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}
\)
Рассмотрим \(\triangle DHO\):
\(
\cos(\angle OHD) = \frac{OH}{HD} = \frac{r}{x \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{x}{2 \cdot \sqrt{3}}}{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}
\)
\(
\angle OHD = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)
\)
Ответ: \(\angle OHD = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).
Дано два правильных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle DBC\). Центр треугольника \(\triangle ABC\) обозначен как \(O\), а высота \(DO\) перпендикулярна плоскости треугольника \(\triangle ABC\). Требуется найти угол между плоскостями \((ABC)\) и \((DBC)\), который равен линейному углу двугранного угла \(\angle OHD\).
Обозначим сторону треугольника \(\triangle ABC\) через \(x\), а радиус вписанной окружности правильного треугольника \(\triangle ABC\) через \(r\). Из курса планиметрии известно, что радиус вписанной окружности правильного треугольника равен \(r = \frac{x}{2 \cdot \sqrt{3}}\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle DHB\). В этом треугольнике \(DB\) – это сторона правильного треугольника \(\triangle DBC\), а \(HB\) – половина стороны правильного треугольника \(\triangle ABC\). Поэтому \(DB = x\) и \(HB = \frac{x}{2}\). По теореме Пифагора найдем длину \(DH\):
\(
DH = \sqrt{(DB)^2 — (HB)^2} = \sqrt{x^2 — \left(\frac{x}{2}\right)^2}
\)
\(
DH = \sqrt{x^2 — \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{4x^2}{4} — \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{3x^2}{4}} = x \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}
\)
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle DHO\). В этом треугольнике \(OH\) – это радиус вписанной окружности треугольника \(\triangle ABC\), равный \(r = \frac{x}{2 \cdot \sqrt{3}}\), а \(HD\) уже найдено и равно \(x \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}\). Косинус угла \(\angle OHD\) можно найти как отношение прилежащего катета \(OH\) к гипотенузе \(HD\):
\(
\cos(\angle OHD) = \frac{OH}{HD} = \frac{\frac{x}{2 \cdot \sqrt{3}}}{x \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}}
\)
Сократим \(x\) в числителе и знаменателе:
\(
\cos(\angle OHD) = \frac{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{1}{2 \cdot \sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}
\)
Таким образом, угол \(\angle OHD\) равен:
\(
\angle OHD = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)
\)
Ответ: \(\angle OHD = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.