ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 212 Атанасян — Подробные Ответы

Точка \(C\) является проекцией точки \(D\) на плоскость треугольника \(ABC\). Докажите, что площадь треугольника \(ABD\) равна \(\frac{S}{\cos \alpha}\), где \(S\) — площадь треугольника \(ABC\), а \(\alpha\) — угол между плоскостями \(ABC\) и \(ABD\).

Дано: \(A \in \beta, B \in \beta, D \notin \beta\), \(C \in \beta, CD \perp \beta\), \(S_{ABC} = s\), \(\angle(ABC, ABD) = \alpha\).

Доказать: \(S_{ABD} = \frac{s}{\cos(\alpha)}\).

Решение:

Проведем высоту \(DH\) в \(\triangle ABD\). По свойству проекции и теореме о трёх перпендикулярах: \(CH \perp AB \Rightarrow CH\) — высота \(\triangle ABD\).

Рассмотрим \(\triangle DCH\):
По построению \(\angle DHC = \alpha\), так как \(\triangle DCH\) прямоугольный, \(\cos(\alpha) = \frac{CH}{DH} \Rightarrow DH = \frac{CH}{\cos(\alpha)}\).

Площадь \(\triangle ABD\):
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{CH}{\cos(\alpha)} = \frac{S_{ABC}}{\cos(\alpha)} = \frac{s}{\cos(\alpha)}.
\)

Что и требовалось доказать.
Ответ: \(S_{ABD} = \frac{s}{\cos(\alpha)}\).

Дано, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат в плоскости \(\beta\), а точка \(D\) не принадлежит этой плоскости. Прямая \(CD\) перпендикулярна плоскости \(\beta\), площадь треугольника \(ABC\) обозначена как \(s\), угол между плоскостями \((ABC)\) и \((ABD)\) равен \(\alpha\). Необходимо доказать, что площадь треугольника \(ABD\) равна \(\frac{s}{\cos(\alpha)}\).

Для нахождения площади треугольника \(ABD\) проведем высоту \(DH\) из точки \(D\) к плоскости треугольника \(ABD\). По свойству проекции и теореме о трех перпендикулярах высота \(CH\) треугольника \(ABC\) перпендикулярна стороне \(AB\), а также перпендикулярна плоскости треугольника \(ABD\). Следовательно, отрезок \(CH\) также является высотой треугольника \(ABD\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(DCH\). Угол \(\angle DHC\) равен \(\alpha\), так как он является линейным углом двугранного угла между плоскостями \((ABC)\) и \((ABD)\). В этом треугольнике по определению косинуса имеем \(\cos(\alpha) = \frac{CH}{DH}\). Отсюда высота \(DH\) выражается как \(DH = \frac{CH}{\cos(\alpha)}\).

Площадь треугольника \(ABD\) вычисляется по формуле \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH\), где \(AB\) — сторона треугольника, а \(DH\) — высота, проведенная к этой стороне. Подставим выражение для \(DH\):
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{CH}{\cos(\alpha)}.
\)

Площадь треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH\), то есть \(S_{ABC} = s\). Следовательно, \(CH = \frac{2s}{AB}\). Подставим это значение в формулу для \(S_{ABD}\):
\(
S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{\frac{2s}{AB}}{\cos(\alpha)}.
\)

Сократим \(AB\):
\(
S_{ABD} = \frac{s}{\cos(\alpha)}.
\)

Таким образом, площадь треугольника \(ABD\) равна \(\frac{s}{\cos(\alpha)}\), что и требовалось доказать.