ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 211 Атанасян — Подробные Ответы

Плоскости правильного треугольника \(KDM\) и квадрата \(KMNP\) взаимно перпендикулярны. Найдите \(DN\), если \(KM = a\).

Дано: \(\triangle KDM\) — правильный, \(KMNP\) — квадрат, \(\angle(KDM, KMNP) = 90^\circ\), \(KM = a\).

Найти: \(DN\).

Решение:
По условию \(KDM \perp KMNP \Rightarrow DM \perp KMNP \Rightarrow DM \perp MN \Rightarrow \triangle NDM\) — прямоугольный.
По теореме Пифагора из \(\triangle NDM\):
\(
DN = \sqrt{(DM)^2 + (MN)^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a \cdot \sqrt{2}.
\)

Ответ: \(DN = a \cdot \sqrt{2}\).

Дано: \(\triangle KDM\) — правильный, \(KMNP\) — квадрат, \(\angle(KDM, KMNP) = 90^\circ\), \(KM = a\). Требуется найти длину отрезка \(DN\).

Рассмотрим шаги решения.

Сначала заметим, что по условию \(\triangle KDM\) перпендикулярен плоскости квадрата \(KMNP\). Это означает, что высота \(DM\) перпендикулярна всей плоскости \(KMNP\). Следовательно, \(DM \perp MN\), так как \(MN\) — сторона квадрата \(KMNP\).

Таким образом, треугольник \(\triangle NDM\) является прямоугольным, где \(DM\) — одна из катетов, \(MN\) — другой катет, а \(DN\) — гипотенуза.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle NDM\) выполняется:
\(
DN^2 = DM^2 + MN^2.
\)

Найдем длины \(DM\) и \(MN\).
1. По условию \(KM = a\), так как \(KMNP\) — квадрат, то все его стороны равны, и \(MN = a\).
2. Высота \(DM\) равна стороне треугольника \(\triangle KDM\), так как он правильный, то есть \(DM = a\).

Подставим значения \(DM\) и \(MN\) в теорему Пифагора:
\(
DN^2 = a^2 + a^2.
\)

Упростим выражение:
\(
DN^2 = 2a^2.
\)

Найдем \(DN\), взяв квадратный корень:
\(
DN = \sqrt{2a^2} = a \cdot \sqrt{2}.
\)

Таким образом, длина \(DN\) равна \(a \cdot \sqrt{2}\).