Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 210 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 69 двугранные углы \(HABP\) и \(PABQ\) равны. Докажите, что каждая точка плоскости \(ABP\) равноудалена от плоскостей \(ABH\) и \(ABQ\).
Дано: \(\angle HABP = \angle HABP\).
Доказать: для любой точки \(X \in ABP\) расстояние от \(X\) до \(ABH\) и \(APQ\) совпадают.
Рассмотрим любую точку \(X \in ABP\). Проведем через \(X\) плоскость \(\alpha\), перпендикулярную \(AB\).
В этой плоскости рассмотрим два треугольника:
1. Образованный точкой пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AB\), точкой \(X \in ABP\) и перпендикуляром, опущенным из \(X\) на \(ABH\).
2. Образованный точкой пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AB\), точкой \(X \in ABP\) и перпендикуляром, опущенным из \(X\) на \(ABQ\).
Эти треугольники равны, так как у них общая гипотенуза, а углы при вершине равны как линейные углы двух равных двугранных углов. Следовательно, перпендикуляры, опущенные из \(X\) на \(ABH\) и \(ABQ\), равны как катеты.
Ответ: для любой точки \(X \in ABP\) расстояние от \(X\) до \(ABH\) и \(APQ\) совпадают.
Дано: \(\angle HABP = \angle HABP\).
Доказать: для любой точки \(X \in ABP\) расстояние от \(X\) до \(ABH\) и \(APQ\) совпадают.
Рассмотрим любую точку \(X \in ABP\). Проведем через точку \(X\) плоскость \(\alpha\), которая перпендикулярна прямой \(AB\). Эта плоскость пересекает прямую \(AB\) в некоторой точке.
Теперь рассмотрим два треугольника, которые лежат в плоскости \(\alpha\):
Первый треугольник образован точкой пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AB\), точкой \(X \in ABP\) и перпендикуляром, опущенным из точки \(X\) на плоскость \(ABH\).
Второй треугольник образован точкой пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AB\), точкой \(X \in ABP\) и перпендикуляром, опущенным из точки \(X\) на плоскость \(ABQ\).
Эти два треугольника равны. Докажем это.
Гипотенуза у этих треугольников общая, так как она является отрезком между точкой пересечения плоскости \(\alpha\) с прямой \(AB\) и точкой \(X\).
Углы при вершине \(X\) равны, так как это линейные углы двух равных двугранных углов \(\angle HABP\).
Из равенства треугольников следует, что их катеты равны. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из точки \(X\) на плоскости \(ABH\) и \(ABQ\), равны.
Таким образом, для любой точки \(X \in ABP\) расстояние от \(X\) до плоскости \(ABH\) равно расстоянию от \(X\) до плоскости \(APQ\).
Ответ: для любой точки \(X \in ABP\) расстояние от \(X\) до \(ABH\) и \(APQ\) совпадают.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.