Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 207 Атанасян — Подробные Ответы
В треугольнике \(ABC\) дано: \(AB = BC = 13 \, \text{см}\), \(AC = 10 \, \text{см}\). Точка \(M\) удалена от прямых \(AB\), \(BC\) и \(AC\) на \(8 \frac{2}{3} \, \text{см}\). Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ABC\), если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.
Дано:
\(\triangle ABC\), \(MO \perp ABC\), \(MD = ME = MF = \frac{8}{3} \, \text{см}\),
\(AB = BC = 13 \, \text{см}\), \(AC = 10 \, \text{см}\).
Найти: \(MO\).
Решение:
Построим точку \(O\).
Из построения: \(\triangle MOD = \triangle MOE = \triangle MOF\), так как \(MO\) — общий катет при равных гипотенузах. Следовательно, \(DO = EO = FO\).
По теореме о трёх перпендикулярах: \(OD \perp BC\), \(OE \perp AC\), \(OF \perp AB\).
Точка \(O\) — центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности:
\(
r = \frac{\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)}}{p}, \quad p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18.
\)
\(
r = \frac{\sqrt{(18 — 13)(18 — 13)(18 — 10)}}{18} = \frac{\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 8}}{18} = \frac{\sqrt{200}}{18} = \frac{10}{9} \, \text{см}.
\)
По теореме Пифагора:
\(
MO = \sqrt{(MD)^2 + (OD)^2}, \quad MD = \frac{8}{3}, \quad OD = r = \frac{10}{9}.
\)
\(
MO = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{100}{81}} = \sqrt{\frac{576}{81} + \frac{100}{81}} = \sqrt{\frac{676}{81}} = \frac{26}{9} \cdot 3 =\)
\(= 8 \, \text{см}.
\)
Ответ: \(MO = 8 \, \text{см}\).
Дано, что точка \(M\) находится вне плоскости треугольника \(\triangle ABC\), а прямая \(MO\) перпендикулярна плоскости \(\triangle ABC\). Также известно, что \(MD = ME = MF = \frac{8}{3}\), где \(D\), \(E\), \(F\) — точки пересечения прямых, проведённых из \(M\), с прямыми \(BC\), \(AC\), \(AB\) соответственно. Стороны треугольника заданы: \(AB = BC = 13\), \(AC = 10\). Требуется найти длину отрезка \(MO\), где \(O\) — проекция точки \(M\) на плоскость \(\triangle ABC\).
Для решения задачи сначала строим точку \(O\). Заметим, что треугольники \(\triangle MOD\), \(\triangle MOE\), \(\triangle MOF\) равны, так как у них общий катет \(MO\) и равные гипотенузы \(MD = ME = MF\). Следовательно, \(DO = EO = FO\). Это означает, что точка \(O\) является центром вписанной окружности треугольника \(\triangle ABC\).
Далее используем формулу радиуса \(r\) вписанной окружности:
\(
r = \frac{\sqrt{(p — a)(p — b)(p — c)}}{p}
\)
где \(p\) — полупериметр треугольника, \(a = BC = 13\), \(b = AB = 13\), \(c = AC = 10\). Сначала вычислим \(p\):
\(
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18
\)
Теперь подставим значения в формулу для радиуса:
\(
r = \frac{\sqrt{(18 — 13)(18 — 13)(18 — 10)}}{18} = \frac{\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 8}}{18} = \frac{\sqrt{200}}{18} = \frac{10}{9} \, \text{см}
\)
Далее найдём длину \(MO\) с использованием теоремы Пифагора в треугольнике \(\triangle MOD\). Известно, что \(MD = \frac{8}{3}\), а \(OD = r = \frac{10}{9}\). Тогда:
\(
MO = \sqrt{(MD)^2 + (OD)^2}
\)
Подставим значения:
\(
MO = \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{64}{9} + \frac{100}{81}}
\)
Приведём к общему знаменателю:
\(
MO = \sqrt{\frac{576}{81} + \frac{100}{81}} = \sqrt{\frac{676}{81}}
\)
Извлекаем корень:
\(
MO = \frac{\sqrt{676}}{9} = \frac{26}{9} \cdot 3 = 8 \, \text{см}
\)
Таким образом, длина отрезка \(MO\) равна \(8 \, \text{см}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.