ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 198 Атанасян — Подробные Ответы

Точка \(A\) лежит в плоскости \(\alpha\), а точка \(B\) удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка \(M\) делит отрезок \(AB\) в отношении 4 : 5, считая от точки \(A\). Найдите расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\).

Дано: \(A \in \alpha, B \notin \alpha\), расстояние от \(B\) до \(\alpha\) равно \(9\) см. \(M \in AB, AM : MB = 4 : 5\). Найти: расстояние от \(M\) до \(\alpha\).

Решение:
Проекции точек \(B\) и \(M\) на плоскость \(\alpha\) обозначим как \(B_1\) и \(M_1\). Из построения и свойства проекций \(\triangle ABB_1 \sim \triangle AMM_1\) по двум углам (прямому и общему углу \(\angle A\)).

По свойству подобия треугольников:
\(
\frac{BB_1}{MM_1} = \frac{BA}{MA}
\)
Подставляем данные:
\(
\frac{9}{MM_1} = \frac{5x + 4x}{4x} = \frac{9}{4}
\)
Решаем относительно \(MM_1\):
\(
MM_1 = \frac{4 \cdot 9}{9} = 4 \, \text{см}.
\)

Ответ: \(4 \, \text{см}\).

Дано: \(A \in \alpha, B \notin \alpha\), расстояние от \(B\) до \(\alpha\) равно \(9\) см. Точка \(M\) лежит на отрезке \(AB\) и делит его в отношении \(AM : MB = 4 : 5\). Требуется найти расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\).

Рассмотрим проекции точек \(B\) и \(M\) на плоскость \(\alpha\). Обозначим их как \(B_1\) и \(M_1\) соответственно. Так как \(B_1\) – это проекция точки \(B\) на плоскость \(\alpha\), то \(BB_1 = 9\) см. Аналогично, \(M_1\) – это проекция точки \(M\) на ту же плоскость, а \(MM_1\) – искомое расстояние.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABB_1\) и \(\triangle AMM_1\). Эти треугольники подобны по двум углам: один угол прямой (углы при \(B_1\) и \(M_1\)), а другой угол общий (\(\angle A\)).

По свойству подобия треугольников можно записать пропорцию для соответствующих сторон:
\(
\frac{BB_1}{MM_1} = \frac{BA}{MA}
\)

Теперь выразим длины \(BA\) и \(MA\) через отношение \(AM : MB = 4 : 5\). Пусть \(AM = 4x\), тогда \(MB = 5x\), а \(BA = AM + MB = 4x + 5x = 9x\).

Подставляем эти значения в пропорцию:
\(
\frac{9}{MM_1} = \frac{9x}{4x}
\)

Упрощаем дроби:
\(
\frac{9}{MM_1} = \frac{9}{4}
\)

Решаем уравнение относительно \(MM_1\):
\(
MM_1 = \frac{4 \cdot 9}{9} = 4 \, \text{см}
\)

Таким образом, расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\) равно \(4\) см.