ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 195 Атанасян — Подробные Ответы

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), если \(AC_1 = 12 \, \text{см}\) и диагональ \(BD_1\) составляет с плоскостью грани \(AA_1D_1D\) угол в \(30^\circ\), а с ребром \(DD_1\) — угол в \(45^\circ\).

Дано: \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед, \(AC_1 = 12 \, \text{см}\), \( \angle(BD_1, AA_1D_1D) = 30^\circ\), \( \angle(BD_1, D_1D) = 45^\circ\).

Найти: размеры параллелепипеда.

Решение:

Рассмотрим треугольник \(BDD_1\). Он прямоугольный и равнобедренный, так как угол между диагональю \(BD_1\) и ребром \(D_1D\) равен \(45^\circ\). Следовательно, \(BD = DD_1 = 6\sqrt{2} \, \text{см}\). Обозначим стороны параллелепипеда \(AB = x\), \(AD = y\), тогда диагональ \(AD_1 = \sqrt{x^2 + y^2}\). Из условия \(AC_1 = 12 \, \text{см}\) имеем:

\(
x^2 + y^2 + z^2 = 144, \quad z = DD_1 = 6\sqrt{2}.
\)

Подставляем \(z^2 = 72\):

\(
x^2 + y^2 = 72.
\)

Рассмотрим треугольник \(AD_1B\). По теореме косинусов:

\(
AB^2 = AD_1^2 + BD_1^2 — 2 \cdot AD_1 \cdot BD_1 \cdot \cos(30^\circ).
\)

Подставляем \(AD_1 = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(BD_1 = 12 \, \text{см}\), \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):

\(
x^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 + BD_1^2 — 2 \cdot \sqrt{x^2 + y^2} \cdot BD_1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Упростим:

\(
x^2 = (x^2 + y^2) + 144 — 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}.
\)

Подставляем \(x^2 + y^2 = 72\):

\(
x^2 = 72 + 144 — 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{72}.
\)

Решая уравнение, получаем \(x = 6 \, \text{см}\), \(y = 6 \, \text{см}\), \(z = 6\sqrt{2} \, \text{см}\).

Ответ: \(AB = 6 \, \text{см}, \, AD = 6 \, \text{см}, \, DD_1 = 6\sqrt{2} \, \text{см}\).

Дано прямоугольный параллелепипед \( ABCD A_1B_1C_1D_1 \), где \( AC_1 = 12 \, \text{см} \), угол между диагональю \( BD_1 \) и плоскостью \( AA_1D_1D \) равен \( 30^\circ \), а угол между диагональю \( BD_1 \) и ребром \( D_1D \) равен \( 45^\circ \). Требуется найти размеры параллелепипеда.

Сначала рассмотрим треугольник \( BDD_1 \). Этот треугольник прямоугольный и равнобедренный, так как угол между диагональю \( BD_1 \) и ребром \( D_1D \) равен \( 45^\circ \). Это означает, что \( BD = DD_1 \). Поскольку \( DD_1 = 6\sqrt{2} \, \text{см} \), то \( BD = 6\sqrt{2} \, \text{см} \).

Обозначим стороны параллелепипеда \( AB \) за \( x \), \( AD \) за \( y \), а диагональ \( AD_1 \) выразим через теорему Пифагора как \( AD_1 = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Из условия дано, что \( AC_1 = 12 \, \text{см} \). Диагональ \( AC_1 \) проходит через центр параллелепипеда, и её квадрат выражается как сумма квадратов трёх сторон:

\(
x^2 + y^2 + z^2 = 144,
\)

где \( z = DD_1 = 6\sqrt{2} \). Подставляем \( z^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72 \):

\(
x^2 + y^2 = 72.
\)

Теперь рассмотрим треугольник \( AD_1B \). В этом треугольнике известны стороны \( AD_1 \), \( BD_1 \) и угол между ними \( 30^\circ \). По теореме косинусов для стороны \( AB \):

\(
AB^2 = AD_1^2 + BD_1^2 — 2 \cdot AD_1 \cdot BD_1 \cdot \cos(30^\circ).
\)

Подставляем \( AD_1 = \sqrt{x^2 + y^2} \), \( BD_1 = 12 \, \text{см} \), \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\(
x^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2 + 12^2 — 2 \cdot \sqrt{x^2 + y^2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
\)

Упростим выражение:

\(
x^2 = (x^2 + y^2) + 144 — 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{x^2 + y^2}.
\)

Подставляем \( x^2 + y^2 = 72 \):

\(
x^2 = 72 + 144 — 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{72}.
\)

Обозначим \( y^2 = t \), тогда \( x^2 = 72 — t \). Подставляем \( x^2 + y^2 = 72 \), чтобы найти \( t \). Решая уравнение, получаем \( t = 36 \), следовательно, \( y = 6 \, \text{см} \) и \( x = 6 \, \text{см} \).

Ответ: \( AB = 6 \, \text{см}, \, AD = 6 \, \text{см}, \, DD_1 = 6\sqrt{2} \, \text{см}. \)