ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 19 Атанасян — Подробные Ответы

Стороны \(AB\) и \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) пересекают плоскость \(\alpha\). Докажите, что прямые \(AD\) и \(DC\) также пересекают плоскость \(\alpha\).

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(AB \cap \alpha \neq \emptyset\), \(BC \cap \alpha \neq \emptyset\).

Так как \(AB \parallel CD\), а \(AB\) пересекает \(\alpha\), то по лемме \(CD\) также пересекает \(\alpha\).

Аналогично, \(BC \parallel AD\), а \(BC\) пересекает \(\alpha\), следовательно, \(AD\) также пересекает \(\alpha\).

Ответ:
\(
\text{Что и требовалось доказать.}
\)

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где стороны \(AB\) и \(BC\) пересекают плоскость \(\alpha\). Необходимо доказать, что стороны \(AD\) и \(DC\) также пересекают плоскость \(\alpha\).

Пусть \(AB \cap \alpha = P\) и \(BC \cap \alpha = Q\), где точки \(P\) и \(Q\) принадлежат плоскости \(\alpha\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то стороны \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).

По лемме: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Так как \(AB \parallel CD\) и \(AB\) пересекает \(\alpha\), то \(CD\) также пересекает \(\alpha\). Обозначим точку пересечения \(CD\) с плоскостью \(\alpha\) через \(R\).

Аналогично, так как \(BC \parallel AD\) и \(BC\) пересекает \(\alpha\), то \(AD\) также пересекает \(\alpha\). Обозначим точку пересечения \(AD\) с плоскостью \(\alpha\) через \(S\).

Таким образом, все стороны параллелограмма \(ABCD\) пересекают плоскость \(\alpha\), а точки \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) лежат в плоскости \(\alpha\).

Следовательно, доказано, что \(AD \cap \alpha \neq \emptyset\) и \(DC \cap \alpha \neq \emptyset\).

Ответ:

\(
\text{Что и требовалось доказать.}
\)