Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 185 Атанасян — Подробные Ответы
Прямая \(a\) не перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую \(a\) и перпендикулярная к плоскости \(\alpha\).
Решение
Через произвольную точку \(M\) прямой \(a\) проведём прямую \(r\), перпендикулярную к плоскости \(\alpha\), и рассмотрим плоскость \(\beta\), проходящую через прямые \(a\) и \(r\). Плоскость \(\beta\) является искомой, так как она проходит через прямую \(a\) и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости \(\alpha\).
Через произвольную точку \(M\) прямой \(a\) проведём прямую \(r\), перпендикулярную к плоскости \(\alpha\), и рассмотрим плоскость \(\beta\), проходящую через прямые \(a\) и \(r\). Плоскость \(\beta\) является искомой, так как она проходит через прямую \(a\) и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости \(\alpha\).
Рассмотрим прямую \(a\), которая не перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Нам нужно доказать, что существует плоскость, проходящая через прямую \(a\) и перпендикулярная к плоскости \(\alpha\).
Для начала выберем произвольную точку \(M\) на прямой \(a\). Через эту точку \(M\) можно провести прямую \(r\), которая будет перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Такая прямая \(r\) существует по определению перпендикуляра к плоскости: из любой точки пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Теперь рассмотрим плоскость \(\beta\), которая проходит через прямую \(a\) и прямую \(r\). Поскольку плоскость определяется двумя пересекающимися или параллельными прямыми, то такая плоскость \(\beta\) существует.
Докажем, что плоскость \(\beta\) перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Для этого воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. В данном случае плоскость \(\beta\) содержит прямую \(r\), которая по построению перпендикулярна к плоскости \(\alpha\). Следовательно, плоскость \(\beta\) перпендикулярна к плоскости \(\alpha\).
Таким образом, мы построили плоскость \(\beta\), которая проходит через прямую \(a\) и перпендикулярна к плоскости \(\alpha\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.