Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 181 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(a\). Из точки \(M\) проведены перпендикуляры \(MA\) и \(MB\) соответственно к плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\). Прямая \(a\) пересекает плоскость \(AMB\) в точке \(C\). Докажите, что \(MC \perp a\).
Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( MA \perp \alpha \), \( MB \perp \beta \), \( C \in \alpha \cap (ABM) \).
Доказать: \( MC \perp \alpha \).
Решение:
Из перпендикулярности прямой и плоскости следует перпендикулярность прямой и любой прямой, принадлежащей плоскости:
\( a \perp \alpha, \, MA \perp \alpha \Rightarrow a \perp MA \),
\( a \perp \beta, \, MB \perp \beta \Rightarrow a \perp MB \).
Из перпендикулярности прямой и двух пересекающихся прямых, принадлежащих одной плоскости, следует перпендикулярность прямой и плоскости:
\( a \perp MB, \, a \perp MA \Rightarrow a \perp (ABM) \).
Из перпендикулярности прямой и плоскости следует перпендикулярность прямой и любой прямой, принадлежащей плоскости:
\( a \perp (ABM), \, C \in (ABM) \Rightarrow a \perp MC \).
\( a \perp \beta, \, MB \perp \beta \Rightarrow a \perp MB \).
Ответ: \( MC \perp a \).
Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( MA \perp \alpha \), \( MB \perp \beta \), \( C \in \alpha \cap (ABM) \).
Нужно доказать: \( MC \perp \alpha \).
Рассмотрим шаги доказательства.
Сначала используем свойство перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Поскольку \( MA \perp \alpha \), а \( a \perp \alpha \), то из этого следует \( a \perp MA \). Аналогично, \( MB \perp \beta \), а \( a \perp \beta \), следовательно, \( a \perp MB \).
Теперь рассмотрим пересечение плоскостей \( \alpha \) и \( \beta \). Эти плоскости пересекаются по прямой \( a \). Прямые \( MA \) и \( MB \) лежат в соответствующих плоскостях \( \alpha \) и \( \beta \), поэтому \( MA \) и \( MB \) пересекаются в точке \( M \) и принадлежат плоскости \( (ABM) \).
Из геометрического свойства, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим одной плоскости, то эта прямая перпендикулярна всей плоскости. Таким образом, \( a \perp MB \) и \( a \perp MA \), следовательно, \( a \perp (ABM) \).
Далее используем следствие из перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости. Так как \( a \perp (ABM) \), а точка \( C \) принадлежит плоскости \( (ABM) \), то \( MC \), лежащая в этой плоскости, будет перпендикулярна \( a \).
Таким образом, \( MC \perp a \), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.