ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 179 Атанасян — Подробные Ответы

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости \(\alpha\) проведена прямая, перпендикулярная к плоскости \(\beta\). Докажите, что эта прямая лежит в плоскости \(\alpha\).

Доказательство «от противного».

Пусть \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\).

Проведем из точки \(B\) перпендикуляр \(BC\) к прямой \(l\), где \(l \subset \beta\), \(C \in l\), \(C \in \pi\).

Так как \(AC \subset \alpha\), \(BC \subset \beta\), а \(\alpha \perp \beta\), то \(AC \perp BC\).

Таким образом, из точки \(A\), не лежащей на прямой \(l\), проведены две перпендикулярные прямые \(AB\) и \(AC\). Однако из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр.

Получаем противоречие с предположением, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\). Следовательно, \(B \in \alpha\), а значит, \(AB \subset \alpha\).

Ответ: \(AB \subset \alpha\).

Доказательство проводится методом от противного. Предположим, что есть точка \(B\), которая не принадлежит плоскости \(\alpha\), но при этом прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\beta\). То есть предполагаем, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\).

Из точки \(B\) проведем перпендикуляр \(BC\) к прямой \(l\), которая лежит в плоскости \(\beta\). Пусть \(C \in l\), и, поскольку \(l \subset \beta\), точка \(C\) также принадлежит плоскости \(\beta\), то есть \(C \in \beta\).

Так как по условию \(AC \subset \alpha\) и \(BC \subset \beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны (\(\alpha \perp \beta\)), то прямая \(AC\) будет перпендикулярна прямой \(BC\). Таким образом, из точки \(A\), которая не лежит на прямой \(l\), проведены две перпендикулярные прямые: \(AB \perp \beta\) и \(AC \perp BC\).

Однако это противоречит свойству, согласно которому из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр. В данном случае из точки \(A\) к прямой \(l\) проведены два перпендикуляра (\(AB\) и \(AC\)), что невозможно.

Следовательно, предположение, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\), неверно. Это означает, что точка \(B\) принадлежит плоскости \(\alpha\), то есть \(B \in \alpha\). Таким образом, прямая \(AB\) полностью лежит в плоскости \(\alpha\), то есть \(AB \subset \alpha\).

Ответ: \(AB \subset \alpha\).