Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 179 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости \(\alpha\) проведена прямая, перпендикулярная к плоскости \(\beta\). Докажите, что эта прямая лежит в плоскости \(\alpha\).
Доказательство «от противного».
Пусть \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\).
Проведем из точки \(B\) перпендикуляр \(BC\) к прямой \(l\), где \(l \subset \beta\), \(C \in l\), \(C \in \pi\).
Так как \(AC \subset \alpha\), \(BC \subset \beta\), а \(\alpha \perp \beta\), то \(AC \perp BC\).
Таким образом, из точки \(A\), не лежащей на прямой \(l\), проведены две перпендикулярные прямые \(AB\) и \(AC\). Однако из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр.
Получаем противоречие с предположением, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\). Следовательно, \(B \in \alpha\), а значит, \(AB \subset \alpha\).
Ответ: \(AB \subset \alpha\).
Доказательство проводится методом от противного. Предположим, что есть точка \(B\), которая не принадлежит плоскости \(\alpha\), но при этом прямая \(AB\) перпендикулярна плоскости \(\beta\). То есть предполагаем, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\).
Из точки \(B\) проведем перпендикуляр \(BC\) к прямой \(l\), которая лежит в плоскости \(\beta\). Пусть \(C \in l\), и, поскольку \(l \subset \beta\), точка \(C\) также принадлежит плоскости \(\beta\), то есть \(C \in \beta\).
Так как по условию \(AC \subset \alpha\) и \(BC \subset \beta\), а плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны (\(\alpha \perp \beta\)), то прямая \(AC\) будет перпендикулярна прямой \(BC\). Таким образом, из точки \(A\), которая не лежит на прямой \(l\), проведены две перпендикулярные прямые: \(AB \perp \beta\) и \(AC \perp BC\).
Однако это противоречит свойству, согласно которому из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр. В данном случае из точки \(A\) к прямой \(l\) проведены два перпендикуляра (\(AB\) и \(AC\)), что невозможно.
Следовательно, предположение, что \(\exists B \notin \alpha: AB \perp \beta\), неверно. Это означает, что точка \(B\) принадлежит плоскости \(\alpha\), то есть \(B \in \alpha\). Таким образом, прямая \(AB\) полностью лежит в плоскости \(\alpha\), то есть \(AB \subset \alpha\).
Ответ: \(AB \subset \alpha\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.