Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 178 Атанасян — Подробные Ответы
Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой \(c\). Докажите, что любая прямая плоскости \(\alpha\), перпендикулярная к прямой \(c\), перпендикулярна к плоскости \(\beta\).
Решение
Проведём в плоскости \(\alpha\) произвольную прямую \(AC\), перпендикулярную к прямой \(c\), \(C \in c\). Докажем, что \(CA \perp \beta\).
В плоскости \(\beta\) через точку \(C\) проведём прямую \(CB\), перпендикулярную к прямой \(c\). Так как \(CA \perp c\) и \(CB \perp c\), то \(\angle ACB\) — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). По условию задачи \(\alpha \perp \beta\), поэтому \(\angle ACB\) — прямой, т. е. \(CA \perp CB\). Таким образом, прямая \(CA\) перпендикулярна к двум пересекающимся прямым \(c\) и \(CB\) плоскости \(\beta\), поэтому \(CA \perp \beta\).
Проведём в плоскости \(\alpha\) произвольную прямую \(AC\), перпендикулярную к прямой \(c\), \(C \in c\). Докажем, что \(CA \perp \beta\). В плоскости \(\beta\) через точку \(C\) проведём прямую \(CB\), перпендикулярную к прямой \(c\). Так как \(CA \perp c\) и \(CB \perp c\), то \(\angle ACB\) — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\). По условию задачи \(\alpha \perp \beta\), поэтому \(\angle ACB\) — прямой, т. е. \(CA \perp CB\). Таким образом, прямая \(CA\) перпендикулярна к двум пересекающимся прямым \(c\) и \(CB\) плоскости \(\beta\), поэтому \(CA \perp \beta\).
Рассмотрим две плоскости α и β, которые по условию задачи взаимно перпендикулярны. Эти плоскости пересекаются по прямой c. Нам нужно доказать, что любая прямая, лежащая в плоскости α и перпендикулярная прямой c, также будет перпендикулярна плоскости β.
Для начала выберем в плоскости α произвольную прямую AC, которая перпендикулярна прямой c. Заметим, что точка C лежит на прямой c, так как AC пересекает c под прямым углом.
Теперь перейдем к плоскости β. В этой плоскости через точку C проведем прямую CB, которая перпендикулярна прямой c. Такая прямая CB существует, так как c лежит в обеих плоскостях α и β, а плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Таким образом, CB лежит в плоскости β и перпендикулярна прямой c.
Рассмотрим угол ACB. Этот угол образован прямой AC, которая лежит в плоскости α, и прямой CB, которая лежит в плоскости β. Так как AC и CB обе перпендикулярны прямой c, угол ACB является линейным углом одного из двугранных углов, образованных пересечением плоскостей α и β.
По условию задачи плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Это означает, что их двугранный угол равен 90 градусам. Следовательно, линейный угол ACB, который является углом между прямыми AC и CB, также равен 90 градусам. Таким образом, AC перпендикулярна CB.
Теперь обратим внимание на то, что прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым: c и CB. Обе эти прямые лежат в плоскости β, а AC перпендикулярна каждой из них. Согласно геометрическому свойству, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то эта прямая перпендикулярна всей плоскости. Поэтому можно сделать вывод, что прямая AC перпендикулярна плоскости β.
Таким образом, доказано, что любая прямая, лежащая в плоскости α и перпендикулярная прямой c, также перпендикулярна плоскости β.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.