ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 176 Атанасян — Подробные Ответы

Через сторону \(AD\) ромба \(ABCD\) проведена плоскость \(ADM\) так, что двугранный угол \(BADM\) равен \(60^\circ\). Найдите сторону ромба, если \(\angle BAD = 45^\circ\) и расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADM\) равно \(\frac{4}{3}\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle (ADB, ADM) = 60^\circ\), \(\angle BAD = 45^\circ\), расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADM = 4\sqrt{3}\). Найти: \(AB\).

Проведем дополнительные построения. Из точки \(B\) опустим перпендикуляр \(BH \perp AD\), из точки \(H\) опустим перпендикуляр \(HE \perp AD\) в плоскости \(ADM\), из точки \(B\) опустим перпендикуляр \(BF \perp EH\).

По построению \(BF\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADM\), так как \(BF \perp EH \in (ADM)\) и \(BF \perp AD \in (ADM)\).

Рассмотрим \(\triangle BFH\) в плоскости \((BEH)\): \(\angle BHF = 60^\circ\), тогда \(\sin(60^\circ) = \frac{BH}{BF}\), откуда \(BH = BF \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\).

Рассмотрим \(\triangle BHA\) в плоскости \((ABD)\): \(\angle BAH = 45^\circ\), тогда \(\sin(45^\circ) = \frac{BH}{AB}\), откуда \(AB = \frac{BH}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2}\).

Ответ: \(AB = 8\sqrt{2}\).

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle (ADB, ADM) = 60^\circ\), \(\angle BAD = 45^\circ\), расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADM = 4\sqrt{3}\). Необходимо найти длину стороны \(AB\).

Для решения задачи проводим дополнительные построения. Из точки \(B\) опускаем перпендикуляр \(BH\) на сторону \(AD\). Далее из точки \(H\) опускаем перпендикуляр \(HE\) на сторону \(AD\) в плоскости \(ADM\). Наконец, из точки \(B\) опускаем перпендикуляр \(BF\) на прямую \(EH\).

По построению \(BF\) является расстоянием от точки \(B\) до плоскости \(ADM\), так как \(BF \perp EH\), \(EH \in (ADM)\), и \(BF \perp AD\), \(AD \in (ADM)\). Это следует из теоремы о трёх перпендикулярах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BFH\) в плоскости \((BEH)\). По условию \(\angle BHF = 60^\circ\). Используем определение синуса: \(\sin(60^\circ) = \frac{BH}{BF}\). Отсюда \(BH = BF \cdot \sin(60^\circ)\). Подставляем значение \(BF = 4\sqrt{3}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\(
BH = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6
\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(BHA\) в плоскости \((ABD)\). По условию \(\angle BAH = 45^\circ\). Используем определение синуса: \(\sin(45^\circ) = \frac{BH}{AB}\). Отсюда \(AB = \frac{BH}{\sin(45^\circ)}\). Подставляем значение \(BH = 6\) и \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\):
\(
AB = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}
\).

Таким образом, длина стороны \(AB\) равна \(8\sqrt{2}\).