ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 175 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Дано: \(ABCD\) — правильный тетраэдр, все рёбра которого равны \(x\).

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AC\). Угол \(\angle DMB\) является линейным углом двугранного угла \(BACD\).

В треугольнике \(\triangle DAC\) медиана \(DM\) равна высоте. По теореме Пифагора:
\(DM^2 + AM^2 = AD^2\).
Подставляем:
\(DM^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2\),
\(DM^2 = x^2 — \frac{x^2}{4} = \frac{3x^2}{4}\),
\(DM = \frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Аналогично, \(BM = \frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Используем теорему косинусов в \(\triangle DMB\):
\(DB^2 = DM^2 + BM^2 — 2 \cdot DM \cdot BM \cdot \cos(\angle DMB)\).
Подставляем:
\(x^2 = \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 — 2 \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\).
Упрощаем:
\(x^2 = \frac{3x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} — \frac{3x^2}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\),
\(x^2 = \frac{3x^2}{2} — \frac{3x^2}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\).

Выражаем \(\cos(\angle DMB)\):
\(\cos(\angle DMB) = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(\cos(\angle DMB) = \frac{1}{3}\), \(\angle DMB = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).

Дано, что все ребра тетраэдра \(ABCD\) равны. Необходимо доказать, что все двугранные углы тетраэдра равны, а также найти двугранный угол \(BACD\).

Для начала строим точку \(M\) на отрезке \(AC\) так, чтобы \(AM = MC\). Это делается для упрощения вычислений, поскольку точка \(M\) является серединой отрезка \(AC\). Угол \(\angle DMB\) определяется как линейный угол двугранного угла \(BACD\).

Все стороны тетраэдра равны, поэтому все линейные углы двугранных углов тетраэдра будут одинаковыми. Чтобы доказать это, достаточно найти один из таких углов.

Обозначим длину стороны тетраэдра через \(x\). Рассмотрим треугольники \(\triangle ADC\) и \(\triangle ABC\), которые равнобедренные, поскольку все стороны тетраэдра равны. Медианы \(DM\) и \(BM\), проведенные к основанию \(AC\), являются высотами, то есть \(DM \perp AC\) и \(BM \perp AC\).

Теперь используем теорему Пифагора для вычисления длины медианы \(DM\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle DAM\):
\(DM^2 + AM^2 = AD^2\).

Подставляем значения:
\(DM^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2\).

Рассчитываем:
\(DM^2 + \frac{x^2}{4} = x^2\).

\(DM^2 = x^2 — \frac{x^2}{4}\).

\(DM^2 = \frac{3x^2}{4}\).

\(DM = \frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Аналогично для медианы \(BM\):
\(BM = \frac{x\sqrt{3}}{2}\).

Далее используем теорему косинусов для треугольника \(\triangle DMB\):
\(DB^2 = DM^2 + BM^2 — 2 \cdot DM \cdot BM \cdot \cos(\angle DMB)\).

Подставляем известные значения:
\(x^2 = \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^2 — 2 \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\).

Упрощаем выражение:
\(x^2 = \frac{3x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} — \frac{3x^2}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\).

\(x^2 = \frac{3x^2}{2} — \frac{3x^2}{2} \cdot \cos(\angle DMB)\).

Выражаем \(\cos(\angle DMB)\):
\(\frac{3x^2}{2} \cdot \cos(\angle DMB) = \frac{3x^2}{2} — x^2\).

\(\cos(\angle DMB) = \frac{\frac{3x^2}{2} — x^2}{\frac{3x^2}{2}}\).

\(\cos(\angle DMB) = \frac{1}{3}\).

Таким образом, линейный угол двугранного угла \(BACD\) равен \(\arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).

Ответ: \(\cos(\angle DMB) = \frac{1}{3}\), \(\angle DMB = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\).