Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 174 Атанасян — Подробные Ответы
Найдите двугранный угол \(ABCD\) тетраэдра \(ABCD\), если углы \(DAB\), \(DAC\) и \(ACB\) прямые, \(AC = CB = 5\), \(DB = 5\sqrt{5}\).
Дано: \(ABCD\) — тетраэдр, \(AC = CB = 5\), \(DB = 5\sqrt{5}\), углы \(\angle DAB = \angle DAC = \angle ACB = 90^\circ\). Найти двугранный угол \(ABCD\).
Рассмотрим прямоугольные треугольники:
По теореме Пифагора из \(\triangle DAB\):
\(DA^2 + AB^2 = DB^2 \Rightarrow DA^2 + AB^2 = 125\).
По теореме Пифагора из \(\triangle ADC\):
\(DA^2 + AC^2 = DC^2 \Rightarrow DA^2 + 25 = DC^2\).
По теореме Пифагора из \(\triangle ACB\):
\(BC^2 + AC^2 = AB^2 \Rightarrow 25 + 25 = AB^2 = 50\).
Из \(\triangle DAB\) и \(\triangle ACB\):
\(DA^2 + 50 = 125 \Rightarrow DA^2 = 75\).
Из \(\triangle ADC\):
\(75 + 25 = DC^2 \Rightarrow DC^2 = 100\).
Так как \(BC^2 + DC^2 = DB^2\) (\(25 + 100 = 125\)), \(\triangle DCB\) — прямоугольный, а \(\angle DCA\) — линейный угол двугранного угла \(ABCD\).
\(
\cos \angle DCA = \frac{AC}{DC} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle DCA = 60^\circ.
\)
Ответ: двугранный угол \(ABCD = 60^\circ\).
Дано: \(ABCD\) — тетраэдр, \(AC = CB = 5\), \(DB = 5\sqrt{5}\), углы \(\angle DAB = \angle DAC = \angle ACB = 90^\circ\). Необходимо найти двугранный угол \(ABCD\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle DAB\). В этом треугольнике угол \(\angle DAB = 90^\circ\), поэтому по теореме Пифагора выполняется равенство \(DA^2 + AB^2 = DB^2\). Подставляем известные значения: \(DB = 5\sqrt{5}\), значит \(DB^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125\). Таким образом, \(DA^2 + AB^2 = 125\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ADC\). В этом треугольнике угол \(\angle DAC = 90^\circ\), поэтому по теореме Пифагора выполняется равенство \(DA^2 + AC^2 = DC^2\). Подставляем известное значение \(AC = 5\), значит \(AC^2 = 5^2 = 25\). Таким образом, \(DA^2 + 25 = DC^2\).
Рассмотрим треугольник \(\triangle ACB\). В этом треугольнике угол \(\angle ACB = 90^\circ\), поэтому по теореме Пифагора выполняется равенство \(BC^2 + AC^2 = AB^2\). Подставляем значения \(BC = 5\) и \(AC = 5\), значит \(BC^2 = 5^2 = 25\) и \(AC^2 = 5^2 = 25\). Таким образом, \(25 + 25 = AB^2\), то есть \(AB^2 = 50\).
Теперь из уравнений для \(\triangle DAB\) и \(\triangle ACB\) находим \(DA^2\). Из уравнения для \(\triangle DAB\) имеем \(DA^2 + AB^2 = 125\), подставляем \(AB^2 = 50\): \(DA^2 + 50 = 125\). Отсюда \(DA^2 = 75\).
Далее находим \(DC^2\) из уравнения для \(\triangle ADC\). Подставляем \(DA^2 = 75\) и \(AC^2 = 25\) в уравнение \(DA^2 + AC^2 = DC^2\): \(75 + 25 = DC^2\). Отсюда \(DC^2 = 100\), значит \(DC = \sqrt{100} = 10\).
Теперь проверяем, является ли треугольник \(\triangle DCB\) прямоугольным. Для этого используем обратную теорему Пифагора: если \(BC^2 + DC^2 = DB^2\), то треугольник прямоугольный. Подставляем значения: \(BC^2 = 25\), \(DC^2 = 100\), \(DB^2 = 125\). Условие выполняется, значит \(\triangle DCB\) — прямоугольный, и угол \(\angle DCA\) является линейным углом двугранного угла \(ABCD\).
Найдем \(\cos \angle DCA\) как отношение прилежащего катета \(AC\) к гипотенузе \(DC\):
\(\cos \angle DCA = \frac{AC}{DC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\).
Из этого следует, что \(\angle DCA = 60^\circ\).
Ответ: двугранный угол \(ABCD = 60^\circ\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.