ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 172 Атанасян — Подробные Ответы

Катет \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 5 \, \text{см}\), \(AB = 13 \, \text{см}\).

Дано: \(AB = 13 \, \text{см}\), \(AC = 5 \, \text{см}\), \(\angle BCA = 90^\circ\), \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\). Требуется найти \(BB_1\).

Сначала находим \(BC\) по теореме Пифагора:
\(BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}\).

В треугольнике \(BCB_1\) выполняется \(\sin \angle BCB_1 = \frac{BB_1}{BC}\). Тогда \(BB_1 = BC \cdot \sin \angle BCB_1\).

Подставляем значения: \(BB_1 = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).

Ответ: \(BB_1 = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).

Дано: \(A \in \alpha, C \in \alpha, B \notin \alpha, B_1 \in \alpha\), \(\angle BCA = 90^\circ\), \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\), \(AB = 13 \, \text{см}\), \(AC = 5 \, \text{см}\). Требуется найти \(BB_1\).

Пусть \(BB_1\) — это перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если \(BB_1 \perp \alpha\), то \(CB_1 \perp AC\), где \(B_1\) — основание перпендикуляра \(BB_1\) на плоскость \(\alpha\). Таким образом, точка \(B_1\) лежит в плоскости \(\alpha\), а \(CB_1\) перпендикулярно \(AC\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\), который лежит в плоскости \((ABC)\). В этом треугольнике известно, что \(\angle BCA = 90^\circ\), \(AB = 13 \, \text{см}\) и \(AC = 5 \, \text{см}\). Чтобы найти длину \(BC\), воспользуемся теоремой Пифагора:
\(
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2}.
\)
Подставим известные значения:
\(
BC = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\)

Теперь рассмотрим треугольник \(BCB_1\), который лежит в плоскости \((BCB_1)\). Этот треугольник является прямоугольным, так как \(BB_1 \perp \alpha\), а следовательно, \(BB_1 \perp BC\). Угол \(\angle BCB_1\) равен углу между плоскостью \((ABC)\) и плоскостью \(\alpha\), то есть \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\).

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
\(
\sin \angle BCB_1 = \frac{BB_1}{BC}.
\)
Отсюда выражаем \(BB_1\):
\(
BB_1 = BC \cdot \sin \angle BCB_1.
\)
Подставим известные значения:
\(
BB_1 = 12 \cdot \sin 60^\circ.
\)
Значение \(\sin 60^\circ\) известно: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:
\(
BB_1 = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.
\)

Таким образом, длина перпендикуляра \(BB_1\) равна \(6\sqrt{3} \, \text{см}\).

Ответ: \(BB_1 = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).