Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 172 Атанасян — Подробные Ответы
Катет \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежит в плоскости \(\alpha\), а угол между плоскостями \(\alpha\) и \(ABC\) равен \(60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\), если \(AC = 5 \, \text{см}\), \(AB = 13 \, \text{см}\).
Дано: \(AB = 13 \, \text{см}\), \(AC = 5 \, \text{см}\), \(\angle BCA = 90^\circ\), \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\). Требуется найти \(BB_1\).
Сначала находим \(BC\) по теореме Пифагора:
\(BC = \sqrt{AB^2 — AC^2} = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}\).
В треугольнике \(BCB_1\) выполняется \(\sin \angle BCB_1 = \frac{BB_1}{BC}\). Тогда \(BB_1 = BC \cdot \sin \angle BCB_1\).
Подставляем значения: \(BB_1 = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).
Ответ: \(BB_1 = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).
Дано: \(A \in \alpha, C \in \alpha, B \notin \alpha, B_1 \in \alpha\), \(\angle BCA = 90^\circ\), \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\), \(AB = 13 \, \text{см}\), \(AC = 5 \, \text{см}\). Требуется найти \(BB_1\).
Пусть \(BB_1\) — это перпендикуляр, опущенный из точки \(B\) на плоскость \(\alpha\). Согласно теореме о трёх перпендикулярах, если \(BB_1 \perp \alpha\), то \(CB_1 \perp AC\), где \(B_1\) — основание перпендикуляра \(BB_1\) на плоскость \(\alpha\). Таким образом, точка \(B_1\) лежит в плоскости \(\alpha\), а \(CB_1\) перпендикулярно \(AC\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\), который лежит в плоскости \((ABC)\). В этом треугольнике известно, что \(\angle BCA = 90^\circ\), \(AB = 13 \, \text{см}\) и \(AC = 5 \, \text{см}\). Чтобы найти длину \(BC\), воспользуемся теоремой Пифагора:
\(
BC = \sqrt{AB^2 — AC^2}.
\)
Подставим известные значения:
\(
BC = \sqrt{13^2 — 5^2} = \sqrt{169 — 25} = \sqrt{144} = 12 \, \text{см}.
\)
Теперь рассмотрим треугольник \(BCB_1\), который лежит в плоскости \((BCB_1)\). Этот треугольник является прямоугольным, так как \(BB_1 \perp \alpha\), а следовательно, \(BB_1 \perp BC\). Угол \(\angle BCB_1\) равен углу между плоскостью \((ABC)\) и плоскостью \(\alpha\), то есть \(\angle (ABC, \alpha) = 60^\circ\).
По определению синуса в прямоугольном треугольнике:
\(
\sin \angle BCB_1 = \frac{BB_1}{BC}.
\)
Отсюда выражаем \(BB_1\):
\(
BB_1 = BC \cdot \sin \angle BCB_1.
\)
Подставим известные значения:
\(
BB_1 = 12 \cdot \sin 60^\circ.
\)
Значение \(\sin 60^\circ\) известно: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:
\(
BB_1 = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.
\)
Таким образом, длина перпендикуляра \(BB_1\) равна \(6\sqrt{3} \, \text{см}\).
Ответ: \(BB_1 = 6\sqrt{3} \, \text{см}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.