Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 171 Атанасян — Подробные Ответы
Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости \(\alpha\), а катет наклонён к этой плоскости под углом \(30^\circ\). Найдите угол между плоскостью \(\alpha\) и плоскостью треугольника.
Дано:
\(
\triangle ABC \text{ — равнобедренный}, \quad \angle BCA = 90^\circ, \quad CC_1 \perp \alpha, \quad \angle (BC, \alpha) = 30^\circ.
\)
Найти: \(\angle (ABC, \alpha)\).
Решение:
Опустим перпендикуляр из точки \(C\) на плоскость \(\alpha\): \(CC_1 \perp \alpha\). Построим \(C_1H \perp AB\). По теореме о трёх перпендикулярах \(CH \perp AB\).
Рассмотрим \(\triangle ABC\) в плоскости \((ABC)\):
\(\triangle ABC\) прямоугольный и равнобедренный, значит, \(AC = AB\), \(\angle BAC = \angle CBA = 45^\circ\).
Тогда \(CH = BC \cdot \sin(45^\circ)\).
Рассмотрим \(\triangle CBC_1\) в плоскости \((CBC_1)\):
\(\triangle CBC_1\) прямоугольный, \(\angle CBC_1 = 30^\circ\), значит, \(CC_1 = BC \cdot \sin(30^\circ)\).
Рассмотрим \(\triangle CHC_1\) в плоскости \((CHC_1)\):
\(\triangle CHC_1\) прямоугольный, тогда:
\(
\sin \angle (ABC, \alpha) = \frac{CH}{CC_1} = \frac{BC \cdot \sin(45^\circ)}{BC \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{1}.
\)
Следовательно, \(\angle (ABC, \alpha) = 45^\circ\).
Ответ:
\(
\angle (ABC, \alpha) = 45^\circ.
\)
Дано, что \(\triangle ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник, \(\angle BCA = 90^\circ\), \(CC_1\) — перпендикуляр к плоскости \(\alpha\), и угол между прямой \(BC\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\). Необходимо найти угол между плоскостью \((ABC)\) и плоскостью \(\alpha\), то есть \(\angle (ABC, \alpha)\).
Рассмотрим пошаговое решение.
Сначала опустим перпендикуляр \(CC_1\) из точки \(C\) на плоскость \(\alpha\). Построим также перпендикуляр \(C_1H \perp AB\). По теореме о трёх перпендикулярах из того, что \(CC_1 \perp \alpha\) и \(C_1H \perp AB\), следует, что \(CH \perp AB\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\) в плоскости \((ABC)\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и прямоугольный, его катеты равны: \(AC = AB\). Углы при основании равны: \(\angle BAC = \angle CBA = 45^\circ\). Высота \(CH\), опущенная на гипотенузу \(AB\), равна \(CH = BC \cdot \sin(45^\circ)\).
Далее рассмотрим треугольник \(\triangle CBC_1\) в плоскости \((CBC_1)\). Этот треугольник также прямоугольный, так как \(CC_1 \perp \alpha\). Угол между \(BC\) и плоскостью \(\alpha\) равен \(30^\circ\), поэтому \(CC_1 = BC \cdot \sin(30^\circ)\).
Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle CHC_1\) в плоскости \((CHC_1)\). Этот треугольник прямоугольный, так как \(CH \perp C_1H\). Угол между плоскостями \((ABC)\) и \(\alpha\) равен углу \(\angle CHC_1\). Для его нахождения используем определение синуса:
\(
\sin \angle (ABC, \alpha) = \frac{CH}{CC_1}.
\)
Подставим выражения для \(CH\) и \(CC_1\):
\(
CH = BC \cdot \sin(45^\circ), \quad CC_1 = BC \cdot \sin(30^\circ).
\)
Тогда:
\(
\sin \angle (ABC, \alpha) = \frac{BC \cdot \sin(45^\circ)}{BC \cdot \sin(30^\circ)} = \frac{\sin(45^\circ)}{\sin(30^\circ)}.
\)
Подставим значения \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\):
\(
\sin \angle (ABC, \alpha) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.
\)
Так как \(\sin \angle (ABC, \alpha) = \sin(45^\circ)\), то \(\angle (ABC, \alpha) = 45^\circ\).
Ответ:
\(
\angle (ABC, \alpha) = 45^\circ.
\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.