ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 170 Атанасян — Подробные Ответы

Из вершины \(B\) треугольника \(ABC\), сторона \(AC\) которого лежит в плоскости \(\alpha\), проведён к этой плоскости перпендикуляр \(BB_1\). Найдите расстояния от точки \(B\) до прямой \(AC\) и до плоскости \(\alpha\), если \(AB = 2 \, \text{см}\), \(\angle BAC = 150^\circ\) и двугранный угол \(BACB_1\) равен \(45^\circ\).

Дано:
\(A \in \alpha, C \in \alpha, B \in \alpha, B_1 \in \xi\),
\(BB_1 \perp \alpha\),
\(AB = 2 \, \text{см}\),
двугранный угол \(BACB_1 = 45^\circ\),
\(\angle BAC = 150^\circ\).

Найти: расстояние от точки \(B\) до \(AC\) и до \(\xi\) (\(BB_1\)).

Решение:
Опустим перпендикуляр из точки \(B\) на прямую \(AC\): \(BH \perp AC\).
По теореме о трёх перпендикулярах \(CH \perp AB_1\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABH\) в плоскости \((ABC)\):
\(\triangle ABH\) — прямоугольный,
\(\angle BAH = 30^\circ\), так как \(\angle BAC = 150^\circ\),
\(
BH = AB \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{см}.
\)

Рассмотрим треугольник \(\triangle BHB_1\) в плоскости \((BHB_1)\):
\(\triangle BHB_1\) — прямоугольный,
\(\angle BHB_1 = 45^\circ\) по построению, так как линейный угол двугранного угла \(BACB_1 = 45^\circ\),
\(
BB_1 = BH \cdot \sin(45^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \text{см}.
\)

Ответ:
\(1 \, \text{см}\) и \(\frac{1}{\sqrt{2}} \, \text{см}\).

Дано, что точка \(B\) находится в плоскости \(\alpha\), а точка \(B_1\) лежит вне этой плоскости и перпендикулярна ей (\(BB_1 \perp \alpha\)). Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\). Длина \(AB = 2\) см, угол между \(AB\) и \(AC\) (\(\angle BAC\)) равен \(150^\circ\), а двугранный угол между плоскостью \((ABC)\) и плоскостью \((BB_1C)\) равен \(45^\circ\). Нужно найти расстояние от точки \(B\) до прямой \(AC\) и до плоскости \(\xi\), где \(\xi\) — плоскость, перпендикулярная \(\alpha\).

Рассмотрим расстояние от точки \(B\) до прямой \(AC\). Для этого опустим перпендикуляр \(BH\) из точки \(B\) на прямую \(AC\). По теореме о трёх перпендикулярах, если \(BB_1 \perp \alpha\), то проекция \(BH\) также будет перпендикулярна прямой \(AC\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABH\), лежащий в плоскости \((ABC)\). Этот треугольник прямоугольный, так как \(BH \perp AC\). Угол \(\angle BAH\) равен \(30^\circ\), так как он является смежным с углом \(\angle BAC = 150^\circ\) (\(180^\circ — 150^\circ = 30^\circ\)). Используем свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти длину \(BH\):
\(
BH = AB \cdot \sin(30^\circ)
\)
Подставляем данные:
\(
BH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{см}
\)
Таким образом, расстояние от точки \(B\) до прямой \(AC\) равно \(1\) см.

Теперь найдём расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\xi\). Рассмотрим треугольник \(\triangle BHB_1\), который лежит в плоскости \((BHB_1)\). Этот треугольник также прямоугольный, так как \(BB_1 \perp \alpha\), а \(BH \perp AC\). Угол \(\angle BHB_1\) равен \(45^\circ\), так как это линейный угол двугранного угла \(BACB_1\), равного \(45^\circ\). Используем свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти длину \(BB_1\):
\(
BB_1 = BH \cdot \sin(45^\circ)
\)
Подставляем данные:
\(
BB_1 = 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \text{см}
\)

Таким образом, расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\xi\) равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) см.

Ответ: \(1\) см и \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) см.