Учебник Геометрия 10–11 классы авторства Л.С. Атанасяна — это классическое пособие, которое десятилетиями используется в российских школах. Он сочетает строгую логику математического изложения с доступными объяснениями, что делает его универсальным инструментом для изучения стереометрии и углубления знаний по планиметрии.
🔹 Ключевые особенности учебника:
- Структурированность — Материал разделен на четкие темы: от аксиом стереометрии до задач на векторы и координаты в пространстве. Каждая глава завершается системой упражнений разного уровня сложности.
- Баланс теории и практики — Теоретические положения иллюстрируются наглядными чертежами, а задачи подобраны так, чтобы развивать геометрическую интуицию. Например, раздел о параллельности прямых и плоскостей включает как стандартные доказательства, так и неочевидные задачи.
- Подготовка к ЕГЭ — Многие задачи (особенно в конце учебника) соответствуют формату экзамена, включая задания на построение сечений многогранников.
- Доступность языка — Даже сложные темы (например, уравнения плоскости) объясняются постепенно, с опорой на ранее изученное.
- Дополнительные материалы — В некоторых изданиях есть приложения с историческими справками (например, о Евклиде или Лобачевском), что расширяет кругозор.
🔹 Советы по использованию:
Для учеников: Начинайте изучение каждой темы с разбора примеров из учебника, а лишь затем переходите к упражнениям.
Для учителей: Учебник идеально подходит для комбинации классических уроков и проектной работы (например, построение моделей многогранников).
Для родителей: Если ребенок затрудняется, обратите внимание на раздел «Вопросы для повторения» — он помогает выявить пробелы.
Минусы (но их мало!):
Некоторым не хватает цветных иллюстраций — чертежи выполнены в черно-белой гамме.
В редких изданиях встречаются опечатки в ответах к задачам (лучше сверяться с учителем).
Вывод: Этот учебник — надежная основа для освоения геометрии. Главное — не просто решать задачи, а анализировать ход мыслей, который предлагает Атанасян. Какую тему вы считаете самой сложной? Может, стоит разобрать ее подробнее?
ГДЗ по Геометрии 10 класс Номер 169 Атанасян — Подробные Ответы
Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна \(180^\circ\).
Дано: \( \alpha \perp \beta, MN = \alpha \cap \beta \).
Доказать: сумма двугранных углов, образованных полуосями плоскости \( \beta \) и полуосью плоскости \( \alpha \), равна \( 180^\circ \).
Решение:
Возьмем точку \( A: A \in \beta, A \in MN \). Построим \( AD \perp MN: B \in MN \). Через точку \( B \) в плоскости \( \alpha \) построим \( CB \perp MN: C \in \alpha \). По построению с одной стороны \( \angle ABC \) и \( \angle DBC \) — линейные углы требуемых двугранных углов, а с другой стороны они лежат в одной плоскости: \( AD \cup BC \) и являются смежными. Так как сумма смежных углов равна \( 180^\circ \), утверждение доказано.
Ответ: сумма двугранных углов, образованных полуосями плоскости \( \beta \) и полуосью плоскости \( \alpha \), равна \( 180^\circ \).
Дано: \( \alpha \perp \beta \), \( MN = \alpha \cap \beta \). Требуется доказать, что сумма двугранных углов, образованных полуосями плоскости \( \beta \) и полуосью плоскости \( \alpha \), равна \( 180^\circ \).
Для доказательства выберем точку \( A \), которая принадлежит плоскости \( \beta \) и прямой \( MN \), то есть \( A \in \beta \) и \( A \in MN \). Через эту точку \( A \) проведем прямую \( AD \), перпендикулярную \( MN \), так что \( AD \perp MN \), где точка \( D \) лежит в плоскости \( \beta \).
Теперь рассмотрим точку \( B \), которая также принадлежит прямой пересечения \( MN \). Через эту точку \( B \) в плоскости \( \alpha \) проведем прямую \( CB \), перпендикулярную \( MN \), так что \( CB \perp MN \), где точка \( C \) лежит в плоскости \( \alpha \).
В результате построения мы получили два линейных угла: \( \angle ABC \) и \( \angle DBC \). Эти углы являются линейными углами двугранных углов, которые нужно рассмотреть. Угол \( \angle ABC \) соответствует двугранному углу между полуосями плоскости \( \beta \), а угол \( \angle DBC \) — двугранному углу между полуосями плоскости \( \alpha \).
Заметим, что прямые \( AD \) и \( BC \) лежат в одной плоскости и являются смежными. Это значит, что сумма углов \( \angle ABC \) и \( \angle DBC \) равна \( 180^\circ \), так как сумма смежных углов всегда равна \( 180^\circ \).
Таким образом, доказано, что сумма двугранных углов, образованных полуосями плоскости \( \beta \) и полуосью плоскости \( \alpha \), равна \( 180^\circ \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.